ความคล้าย
รูปคล้ายคืออะไร สมบัติของรูปคล้าย (มุมที่สมนัยกันเท่ากันและด้านที่สมนัยกันเป็นสัดส่วนเดียวกัน) อัตราส่วนความคล้าย k การหมุน เลื่อน พลิกที่ไม่ทำให้ความคล้ายเปลี่ยน การหาด้านที่ยังไม่ทราบ ความยาวรอบรูปและพื้นที่ที่เปลี่ยนเป็น k และ k² เท่า พร้อมห้องทดลองความคล้ายที่ลากรูปและตรวจสอบได้ทันที
รูปคล้ายคืออะไร
รูปสองรูปคล้ายกัน (similar figures) เมื่อมีรูปร่างเหมือนกัน แต่ขนาดอาจต่างกัน คือรูปหนึ่งเกิดจากการขยายหรือย่ออีกรูปหนึ่งด้วยอัตราส่วนเดียวกันทุกทิศทาง แล้วอาจหมุน เลื่อน หรือพลิกไปไว้ที่ใดก็ได้ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ∼ เช่น △ABC ∼ △A′B′C′ ตัวอย่างในชีวิตจริงคือรูปถ่ายที่ขยายหรือย่อโดยไม่ยืดบิด แผนที่กับพื้นที่จริง และโมเดลจำลองกับของจริง
รูปถ่ายขนาด 4 × 6 นิ้ว ขยายเป็น 8 × 12 นิ้ว ด้านทุกด้านยาวเป็น 2 เท่า รูปไม่บิดเบี้ยว จึงเป็นรูปคล้าย แต่ถ้ายืดเป็น 8 × 6 นิ้ว ด้านหนึ่งยาวเป็น 2 เท่า อีกด้านเท่าเดิม รูปจะเบี้ยวและไม่คล้ายกับรูปเดิม
สมบัติของรูปคล้าย
ถ้ารูป ABCD ∼ รูป A′B′C′D′ จะได้สมบัติสองข้อพร้อมกัน ข้อแรก มุมที่สมนัยกันเท่ากันทุกมุม คือ ∠A = ∠A′, ∠B = ∠B′, ∠C = ∠C′, ∠D = ∠D′ ข้อสอง ด้านที่สมนัยกันยาวเป็นสัดส่วนเดียวกันทุกด้าน คือ A′B′ ÷ AB = B′C′ ÷ BC = C′D′ ÷ CD = D′A′ ÷ DA = k เรียก k ว่าอัตราส่วนความคล้าย ต้องครบทั้งสองข้อ ถ้ามีเพียงข้อเดียวไม่ได้แปลว่าคล้ายกัน
△ABC ∼ △DEF โดย AB = 4, BC = 5, CA = 6 และ k = 2.5 จะได้ DE = 2.5 × 4 = 10, EF = 2.5 × 5 = 12.5, FD = 2.5 × 6 = 15 ส่วนมุม ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F เท่ากันทุกคู่
อัตราส่วนความคล้าย k
k = ความยาวด้านของรูปที่สอง ÷ ความยาวด้านที่สมนัยกันของรูปแรก ถ้า k > 1 รูปที่สองใหญ่กว่า (ขยาย) ถ้า 0 < k < 1 รูปที่สองเล็กกว่า (ย่อ) และถ้า k = 1 รูปทั้งสองเท่ากันทุกประการ ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของรูปคล้าย ในห้องทดลองปรับ k ได้ด้วยแถบเลื่อน หรือลากจุดมุมของรูปสีเขียวให้ใหญ่ขึ้นหรือเล็กลง
ถ้ารูปแรกมีด้านยาว 8, 10, 12 หน่วย และ k = 0.5 รูปที่สองจะมีด้านยาว 4, 5, 6 หน่วย เป็นการย่อ ถ้าถือรูปที่สองเป็นรูปแรกแทน อัตราส่วนจะกลับเป็น 1 ÷ 0.5 = 2
หมุน เลื่อน หรือพลิก ก็ยังคล้ายกัน
การหมุน การเลื่อน และการพลิกรูป (กลับซ้าย–ขวา) ไม่เปลี่ยนความยาวด้านและขนาดมุม จึงไม่ทำให้ความคล้ายเปลี่ยน รูปที่ถูกหมุนหรือพลิกแล้วขยายหรือย่อ ก็ยังคล้ายกับรูปเดิม ในห้องทดลองลองลากรูปสีเขียว ปรับ “การหมุน” หรือกด “พลิกรูป” แล้วดูว่าค่าในตารางไม่เปลี่ยน และกด “ซ้อนทับ” เพื่อดูว่ารูปที่สองคือรูปต้นแบบที่ขยายหรือย่อจากจุด A
สามเหลี่ยมที่มีด้าน 3, 4, 5 หมุน 90° แล้วขยาย 2 เท่า จะได้สามเหลี่ยมด้าน 6, 8, 10 ซึ่งยังคล้ายกับสามเหลี่ยมเดิม มุมที่สมนัยกันยังเท่ากันทุกมุม (มุมฉากยังเป็น 90°)
เขียนชื่อให้ตรงกัน: จุดยอดที่สมนัยกัน
เมื่อเขียน △ABC ∼ △DEF ลำดับตัวอักษรบอกการจับคู่เสมอ A คู่กับ D, B คู่กับ E, C คู่กับ F ดังนั้นด้านที่สมนัยกันคือ AB กับ DE, BC กับ EF, CA กับ FD และมุมที่สมนัยกันคือ ∠A กับ ∠D, ∠B กับ ∠E, ∠C กับ ∠F ถ้าสลับลำดับอักษร การจับคู่จะผิดไปด้วย ห้องทดลองใช้ A′, B′, C′ แทนจุดของรูปที่สอง เพื่อให้เห็นคู่ที่สมนัยกันได้ทันที
ถ้า △ABC ∼ △DEF และ AB = 6, DE = 9 จะได้ k = 9 ÷ 6 = 1.5 ถ้า BC = 8 แล้ว EF = 1.5 × 8 = 12 แต่ถ้าเข้าใจผิดว่า AB สมนัยกับ EF ก็จะคำนวณได้ค่าที่ผิด
หาด้านที่ยังไม่ทราบ
ใช้สัดส่วนของด้านที่สมนัยกัน ขั้นที่ 1 เขียนด้านที่สมนัยกันเป็นคู่ ขั้นที่ 2 หา k จากคู่ที่ทราบทั้งสองค่า ขั้นที่ 3 ใช้ด้านของรูปที่สอง = k × ด้านของรูปแรก หรือด้านของรูปแรก = ด้านของรูปที่สอง ÷ k ในโหมด “ฝึกทำโจทย์” ของห้องทดลองจะสุ่มรูปคล้ายมาให้ฝึกทั้งสามแบบ คือหาด้านรูปที่สอง หาด้านรูปแรก และหา k
สี่เหลี่ยมมุมฉาก ABCD ที่ AB = 6, BC = 8 คล้ายกับ EFGH ที่ EF = 9 จะได้ k = 9 ÷ 6 = 1.5 และ FG = 1.5 × 8 = 12
ความยาวรอบรูปและพื้นที่
ถ้ารูปคล้ายกันและด้านยาวเป็น k เท่า ความยาวรอบรูปจะเป็น k เท่า เพราะทุกด้านเป็น k เท่าเหมือนกัน แต่พื้นที่จะเป็น k² เท่า เพราะพื้นที่เกิดจากความยาวสองทิศทางคูณกัน ตารางในห้องทดลองแสดงอัตราส่วนของความยาวรอบรูปและพื้นที่ ลองเปลี่ยน k แล้วดูว่าค่าทั้งสองเปลี่ยนอย่างไร
สามเหลี่ยมด้าน 3, 4, 5 มีความยาวรอบรูป 12 และพื้นที่ 6 ขยายด้วย k = 3 ได้ด้าน 9, 12, 15 ความยาวรอบรูป 36 (เป็น 3 เท่า) และพื้นที่ 54 (เป็น 9 เท่าของ 6 เพราะ 3² = 9)
รูปสองรูปคล้ายกันหรือไม่
สามเหลี่ยมมีทางลัด คือถ้ามุมสองมุมของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับมุมสองมุมของอีกรูปหนึ่ง ก็คล้ายกันแล้ว (มุม–มุม) เพราะมุมที่สามหาได้จากผลรวม 180° แต่รูปหลายเหลี่ยมอื่นต้องตรวจทั้งมุมและด้านพร้อมกัน เช่น สี่เหลี่ยมมุมฉากสองรูปมีมุม 90° เท่ากันหมด แต่ถ้าอัตราส่วนด้านต่างกันก็ไม่คล้ายกัน และสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ด้านยาวเป็นสัดส่วนเดียวกันแต่มุมต่างกันก็ไม่คล้ายเช่นกัน ลองในโหมด “ทดลองทำให้ไม่คล้าย” โดยลากจุดมุมของรูปสีเขียวทีละจุดแล้วดูผลตรวจสอบ
สี่เหลี่ยมมุมฉาก 3 × 2 กับ 6 × 4 คล้ายกัน เพราะ 6 ÷ 3 = 2 และ 4 ÷ 2 = 2 เท่ากัน แต่ 3 × 2 กับ 6 × 3 ไม่คล้ายกัน เพราะ 6 ÷ 3 = 2 แต่ 3 ÷ 2 = 1.5 ไม่เท่ากัน ทั้งที่มุมเป็น 90° เท่ากันทุกมุม
ห้องทดลองความคล้าย
รูปสองรูปคล้ายกันเมื่อมุมเท่ากันและด้านเป็นสัดส่วนเดียวกันเช็กความเข้าใจ
บทเรียนอื่นในหมวดเรขาคณิต
การสร้างทางเรขาคณิต
ฝึกใช้ไม้บรรทัด สันตรง วงเวียน และโพรแทรกเตอร์ แล้วสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิต 6 ข้อ คือ สร้างส่วนของเส้นตรงให้ยาวเท่ากับที่กำหนด แบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง สร้างมุมให้เท่ากับมุมที่กำหนด แบ่งครึ่งมุม และสร้างเส้นตั้งฉาก 2 แบบ ต่อยอดไปสร้างมุม 60°, 45°, 30° สามเหลี่ยมด้านเท่า และเส้นขนาน พร้อมห้องทดลองที่ตรวจทุกขั้นตอน และกระดานอิสระสำหรับครูออกแบบโจทย์ ซ่อนเครื่องมือ และบันทึกภาพไปทำข้อสอบ
เริ่มเรียน
การหมุน การสะท้อน และการเลื่อนขนาน
ทดลองการแปลงทางเรขาคณิต 3 แบบบนระนาบพิกัด คือ การหมุน การสะท้อน และการเลื่อนขนาน แล้วนำมาต่อกันได้ 2 ครั้ง ดูภาพและพิกัดที่เปลี่ยนไปได้ทันที
เริ่มเรียน
การเลื่อนขนาน
การเลื่อนรูปไปตามทิศทางและระยะทางที่กำหนดด้วยรังสี PQ สมบัติของการเลื่อนขนาน การสร้างภาพด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน การเลื่อนขนานบนระนาบพิกัด (x, y) → (x + a, y + b) และการหาเวกเตอร์การเลื่อนจากจุดเดิมกับจุดภาพ พร้อมห้องทดลองสร้างภาพทีละขั้นและโหมดสำรวจ
เริ่มเรียน