ม.ต้น · 25 นาที

การเลื่อนขนาน

โดย ทีมงาน Math Zom · เผยแพร่ 10 ตุลาคม 2569 · อัปเดตล่าสุด 17 ตุลาคม 2569

การเลื่อนรูปไปตามทิศทางและระยะทางที่กำหนดด้วยรังสี PQ สมบัติของการเลื่อนขนาน การสร้างภาพด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน การเลื่อนขนานบนระนาบพิกัด (x, y) → (x + a, y + b) และการหาเวกเตอร์การเลื่อนจากจุดเดิมกับจุดภาพ พร้อมห้องทดลองสร้างภาพทีละขั้นและโหมดสำรวจ

หน้าปกบทเรียนการเลื่อนขนาน ครูยืนชูนิ้วชี้ข้างกระดานตาราง ซึ่งแสดงรูปสามเหลี่ยมสีน้ำเงินเลื่อนผ่านภาพจาง ๆ ตามลูกศรประสีแดงไปเป็นรูปสามเหลี่ยมสีเขียว

การเลื่อนขนานคืออะไร

การเลื่อนขนาน (translation) คือการแปลงทางเรขาคณิตที่ย้ายทุกจุดของรูปไปในทิศทางเดียวกันและเป็นระยะทางเท่ากัน โดยไม่หมุนและไม่พลิกรูป การเลื่อนขนานหนึ่งครั้งต้องบอกให้ครบ 2 อย่าง คือทิศทางและระยะทาง นิยมบอกด้วยรังสีหรือลูกศร PQ ทิศจาก P ไป Q คือทิศทางที่เลื่อน และความยาว PQ คือระยะทางที่เลื่อน จุดที่ได้หลังเลื่อนเรียกว่าจุดภาพ และเขียนชื่อด้วยเครื่องหมาย ′ เช่น ภาพของ A คือ A′

ตัวอย่าง

เลื่อนรูปสามเหลี่ยม ABC ไปทางขวา 5 หน่วย จะได้รูปสามเหลี่ยม A′B′C′ ที่อยู่ทางขวาของรูปเดิม 5 หน่วย ทุกจุดของรูปเลื่อนไปทางขวา 5 หน่วยเท่ากันหมด ไม่มีจุดใดเลื่อนมากหรือน้อยกว่ากัน

บนตารางที่แต่ละช่องยาว 1 หน่วย รูปสามเหลี่ยม ABC สีน้ำเงินเลื่อนไปทางขวา 5 หน่วยเป็นรูป A′B′C′ สีเขียว มีลูกศรประสีแดงจาก A ไป A′ ด้านขวาสรุปว่าทุกจุดเลื่อนไปทางขวา 5 หน่วย AA′ = BB′ = CC′ = 5 หน่วย และรูปไม่หมุน ไม่พลิก ขนาดคงเดิม — เลื่อนรูปสามเหลี่ยม ABC ไปทางขวา 5 หน่วย ได้ A′B′C′ ทุกจุดเลื่อนไปทางขวา 5 หน่วยเท่ากัน

สมบัติของการเลื่อนขนาน

เพราะทุกจุดเลื่อนไปทางเดียวกันและไกลเท่ากัน จึงได้สมบัติสำคัญ 4 ข้อ ข้อแรก ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดเดิมกับจุดภาพทุกเส้นขนานกับ PQ และยาวเท่ากับ PQ เช่น AA′ = BB′ = CC′ = PQ ข้อสอง ด้านแต่ละด้านของรูปภาพขนานกับด้านที่สมนัยกันของรูปเดิมและยาวเท่ากัน เช่น A′B′ ขนานกับ AB และ A′B′ = AB ข้อสาม รูปภาพเท่ากันทุกประการกับรูปเดิม มุมทุกมุมมีขนาดเท่าเดิม ข้อสี่ รูปภาพหันไปทางเดิม ลำดับของจุดยอดเมื่อเดินรอบรูปยังเป็นทิศทางเดิม ไม่กลับด้านเหมือนการสะท้อน

ตัวอย่าง

เลื่อนรูปสามเหลี่ยมที่มี AB = 4 หน่วย และ ∠ABC = 60° ตามรังสี PQ ที่ยาว 6 หน่วย จะได้ A′B′ = 4 หน่วย ∠A′B′C′ = 60° และ AA′ = BB′ = CC′ = 6 หน่วย โดยทั้งสามเส้นขนานกับ PQ

สามเหลี่ยม ABC สีน้ำเงินเลื่อนตามรังสี PQ สีแดงที่ยาว 6 หน่วยเป็นสามเหลี่ยม A′B′C′ สีเขียว มุม B และ B′ เท่ากับ 60° เส้นประจาก A, B, C ไป A′, B′, C′ มีขีดบอกว่ายาวเท่ากัน ด้านขวาสรุป AB = A′B′ = 4, A′B′ ∥ AB, ∠ABC = ∠A′B′C′ = 60°, AA′ = BB′ = CC′ = PQ = 6 และ AA′ ∥ BB′ ∥ CC′ ∥ PQ — AB = 4 หน่วย ∠ABC = 60° เลื่อนตามรังสี PQ ที่ยาว 6 หน่วย ได้ A′B′ = 4 หน่วย ∠A′B′C′ = 60° และ AA′ = BB′ = CC′ = 6 หน่วย ขนานกับ PQ

สร้างภาพการเลื่อนขนานด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน

สร้างภาพทีละจุดยอดตามสมบัติข้างต้น ขั้นที่ 1 วางไม้บรรทัดให้ขอบทับแนว PQ แล้วเลื่อนไม้บรรทัดไปโดยไม่ให้แนวเอียง จนขอบผ่านจุดยอด A ลากเส้นตรงผ่าน A ที่ขนานกับ PQ ขั้นที่ 2 กางวงเวียนให้ปลายเหล็กแหลมอยู่ที่ P และปลายดินสออยู่ที่ Q ระยะกางจึงเท่ากับ PQ ขั้นที่ 3 ยกวงเวียนไปปักที่ A เขียนส่วนโค้งตัดเส้นขนานด้านที่ไปทางเดียวกับทิศจาก P ไป Q จุดตัดคือ A′ ทำแบบเดียวกันกับจุดยอดอื่น แล้วลากเชื่อมจุดภาพตามลำดับเดิม ระยะกางวงเวียนใช้ค่าเดิมได้ทุกจุด เพราะทุกจุดเลื่อนเป็นระยะ PQ เท่ากัน

ตัวอย่าง

เลื่อนส่วนของเส้นตรง AB ตามรังสี PQ สร้างเส้นผ่าน A ที่ขนานกับ PQ แล้วกางวงเวียนยาว PQ ปักที่ A ได้ A′ ทำแบบเดียวกันกับ B ได้ B′ จากนั้นลาก A′B′ จะได้ A′B′ ขนานกับ AB และยาวเท่ากัน รูป ABB′A′ จึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ส่วนของเส้นตรง AB สีน้ำเงินและรังสี PQ สีแดง เส้นสีเทาผ่าน A และ B ขนานกับ PQ ส่วนโค้งสีส้มรัศมีเท่ากับ PQ ตัดเส้นขนานที่ A′ และ B′ แล้วเชื่อมเป็น A′B′ สีเขียว พื้นที่ ABB′A′ ระบายสีอ่อน ด้านขวามีขั้นตอน 4 ข้อและสรุปว่า ABB′A′ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน — ลากเส้นผ่าน A และ B ให้ขนานกับ PQ กางวงเวียนยาว PQ แล้วปักที่ A และ B ตัดเส้นขนานได้ A′ และ B′ รูป ABB′A′ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การเลื่อนขนานบนระนาบพิกัด

บนระนาบพิกัด บอกการเลื่อนขนานด้วยคู่อันดับ (a, b) ซึ่ง a คือระยะที่เลื่อนตามแนวแกน X (บวกไปทางขวา ลบไปทางซ้าย) และ b คือระยะที่เลื่อนตามแนวแกน Y (บวกขึ้น ลบลง) เมื่อเลื่อนจุด (x, y) ด้วย (a, b) จะได้จุดภาพ (x + a, y + b) กล่าวคือบวก a เข้ากับพิกัด x และบวก b เข้ากับพิกัด y ทุกจุดใช้ค่า a และ b เดียวกัน ถ้ารู้จุด P และ Q จะได้ a = (พิกัด x ของ Q) − (พิกัด x ของ P) และ b = (พิกัด y ของ Q) − (พิกัด y ของ P)

ตัวอย่าง

P(−2, 1) และ Q(1, 0) ให้ a = 1 − (−2) = 3 และ b = 0 − 1 = −1 คือเลื่อนไปทางขวา 3 หน่วยและลง 1 หน่วย จุด A(1, 2) จึงเลื่อนไปที่ A′(1 + 3, 2 − 1) = A′(4, 1) และ B(−2, 0) เลื่อนไปที่ B′(1, −1)

ระนาบพิกัดมีลูกศรสีแดงจาก P(−2, 1) ไป Q(1, 0) และลูกศรประสีเขียวจาก A(1, 2) ไป A′(4, 1) กับจาก B(−2, 0) ไป B′(1, −1) ด้านขวาแสดง a = 1 − (−2) = 3, b = 0 − 1 = −1 กฎ (x, y) → (x + 3, y − 1) และสรุปว่าเลื่อนไปทางขวา 3 หน่วย ลง 1 หน่วย — จาก P(−2, 1) และ Q(1, 0) ได้ (a, b) = (3, −1) จึงเลื่อน A(1, 2) ไปที่ A′(4, 1) และ B(−2, 0) ไปที่ B′(1, −1)

หาการเลื่อนจากจุดเดิมและจุดภาพ

ถ้ารู้จุดเดิมและจุดภาพเพียงคู่เดียว ก็บอกการเลื่อนขนานได้ทั้งหมด เพราะทุกจุดเลื่อนเท่ากัน ให้นำพิกัดของจุดภาพลบด้วยพิกัดของจุดเดิม จะได้ (a, b) แล้วใช้ค่านี้เลื่อนจุดอื่นต่อ ระยะทางที่เลื่อนหาได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส คือ √(a² + b²) ระวังลำดับการลบ ต้องเป็นจุดภาพลบจุดเดิม ถ้าลบสลับกันจะได้ทิศทางตรงกันข้าม

ตัวอย่าง

A(−1, 4) เลื่อนไปที่ A′(3, 1) ได้ (a, b) = (3 − (−1), 1 − 4) = (4, −3) คือไปทางขวา 4 หน่วยและลง 3 หน่วย ระยะทางที่เลื่อน = √(4² + (−3)²) = √25 = 5 หน่วย ถ้า B(2, 2) เลื่อนแบบเดียวกันจะได้ B′(6, −1)

ระนาบพิกัดมีลูกศรสีแดงยาว 5 หน่วยจาก A(−1, 4) ไป A′(3, 1) เส้นประสีทองแสดงไปทางขวา 4 และลง 3 ลูกศรประสีเขียวจาก B(2, 2) ไป B′(6, −1) ด้านขวาแสดงจุดภาพ − จุดเดิม a = 3 − (−1) = 4, b = 1 − 4 = −3 และระยะ √(4² + (−3)²) = 5 — A(−1, 4) เลื่อนไปที่ A′(3, 1) ได้ (a, b) = (4, −3) ระยะทาง √(4² + (−3)²) = 5 หน่วย เลื่อน B(2, 2) แบบเดียวกันได้ B′(6, −1)

เลื่อนขนานสองครั้งต่อกัน

เลื่อนด้วย (a, b) แล้วเลื่อนต่อด้วย (c, d) ให้ผลเหมือนเลื่อนครั้งเดียวด้วย (a + c, b + d) ลำดับการเลื่อนสลับกันได้ ผลเท่าเดิม และถ้าเลื่อนด้วย (a, b) แล้วเลื่อนกลับด้วย (−a, −b) รูปจะกลับมาที่เดิม ใช้ตรวจคำตอบได้ดี

ตัวอย่าง

จุด (0, 0) เลื่อนด้วย (2, 1) ได้ (2, 1) เลื่อนต่อด้วย (−3, 4) ได้ (−1, 5) ซึ่งเท่ากับเลื่อนครั้งเดียวด้วย (2 + (−3), 1 + 4) = (−1, 5) ตรวจกลับโดยเลื่อน (−1, 5) ด้วย (1, −5) ได้ (0, 0) คือจุดเดิม

ระนาบพิกัดมีลูกศรสีน้ำเงิน (2, 1) จาก (0, 0) ไป (2, 1) ต่อด้วยลูกศรสีน้ำตาลส้ม (−3, 4) จาก (2, 1) ไป (−1, 5) และลูกศรประสีเขียว (−1, 5) จาก (0, 0) ไป (−1, 5) โดยตรง ด้านขวาแสดง (2, 1) + (−3, 4) = (2 + (−3), 1 + 4) = (−1, 5) และเลื่อนกลับด้วย (1, −5) จะได้ (0, 0) เหมือนเดิม — เลื่อน (0, 0) ด้วย (2, 1) แล้วเลื่อนต่อด้วย (−3, 4) ได้ (−1, 5) เท่ากับเลื่อนครั้งเดียวด้วย (−1, 5) และเลื่อนกลับด้วย (1, −5) ได้จุดเดิม

การเลื่อนขนานในชีวิตประจำวัน

ลวดลายบนผ้า กระเบื้อง และรั้วที่เกิดจากการวางลายเดิมซ้ำต่อกันเป็นแถว คือการเลื่อนขนานลายเดิมไปทีละระยะเท่ากัน ลิฟต์และบันไดเลื่อนพาคนเคลื่อนที่โดยไม่หมุนตัว การเลื่อนหน้าต่างหรือไฟล์บนจอคอมพิวเตอร์ และการเดินของเรือหรือเรือนในหมากรุกก็เป็นการเลื่อนขนานเช่นกัน

ตัวอย่าง

ลายกระเบื้องที่ลายหนึ่งกว้าง 20 ซม. วางเรียงไปทางขวา ลายชิ้นที่ 4 ได้จากการเลื่อนลายชิ้นแรกไปทางขวา 3 × 20 = 60 ซม. ทุกจุดบนลายเลื่อน 60 ซม. เท่ากัน

กระเบื้องลายสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสีเหลืองมีวงกลมสีเขียวตรงกลางและมุมสีน้ำเงิน 4 ชิ้นเรียงต่อกันในแนวนอน ชิ้นแรกกว้าง 20 ซม. ชิ้นที่ 4 มีกรอบประสีเขียว ลูกศรสีแดงด้านบนบอกว่าเลื่อนไปทางขวา 3 × 20 = 60 ซม. และป้ายด้านขวาว่าทุกจุดบนลายเลื่อน 60 ซม. เท่ากันหมด — ลายกระเบื้องกว้างชิ้นละ 20 ซม. ชิ้นที่ 4 ได้จากการเลื่อนชิ้นแรกไปทางขวา 3 × 20 = 60 ซม.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ข้อแรก เลื่อนแต่ละจุดด้วยระยะหรือทิศทางไม่เท่ากัน ทำให้รูปภาพบิดเบี้ยว ให้ตรวจว่า AA′, BB′, CC′ ขนานและยาวเท่ากันทุกเส้น ข้อสอง สับสนเครื่องหมาย การเลื่อนไปทางซ้ายหรือลงต้องใช้ค่าลบ ข้อสาม หาการเลื่อนโดยเอาจุดเดิมลบจุดภาพ ทำให้ได้ทิศกลับกัน ข้อสี่ ใช้วงเวียนตัดเส้นขนานผิดด้าน ต้องเลือกจุดตัดที่ไปทางเดียวกับทิศจาก P ไป Q

ตัวอย่าง

เลื่อน C(3, −2) ไปทางซ้าย 5 หน่วยและขึ้น 2 หน่วย ใช้ (a, b) = (−5, 2) ได้ C′(−2, 0) ไม่ใช่ (8, 0) ซึ่งเกิดจากการบวก 5 แทนการลบ 5

ระนาบพิกัดมีจุด C(3, −2) เส้นสีเขียวไปยังจุดถูก C′(−2, 0) ทางซ้ายบน และเส้นประสีแดงไปยังจุดผิด (8, 0) ที่มีเครื่องหมายกากบาท ด้านขวาแสดง ซ้าย 5 หน่วย a = −5 ขึ้น 2 หน่วย b = 2 ได้ (3 + (−5), −2 + 2) = (−2, 0) และ (8, 0) ผิดเพราะบวก 5 แทนลบ 5 — เลื่อน C(3, −2) ไปทางซ้าย 5 หน่วยและขึ้น 2 หน่วย ใช้ (a, b) = (−5, 2) ได้ C′(−2, 0) คำตอบ (8, 0) เกิดจากการบวก 5 แทนการลบ 5

ใช้ห้องทดลองการเลื่อนขนาน

โหมดสร้างด้วยเครื่องมือให้สร้างภาพทีละจุดยอดเหมือนทำบนกระดาษ ลากจุด P และ Q เพื่อตั้งโจทย์ แล้วใช้ไม้บรรทัดเลื่อนให้ขอบขนานกับ PQ จนผ่านจุดยอด และใช้วงเวียนที่กางเท่ากับ PQ หาจุดภาพ แผงด้านข้างจะติ๊กรายการตรวจให้ทันทีเมื่อวางเครื่องมือถูก เลือกวาดรูปเองได้สูงสุด 8 จุด โหมดสำรวจมีแถบเลื่อน 0%–100% พร้อมตารางพิกัดของจุดเดิมและจุดภาพ ย้ายแถบเครื่องมือและจัดหน้าจอได้ตามสะดวก

ตัวอย่าง

ลองตั้ง P(0, 0) และ Q(3, −2) เลือกรูปสามเหลี่ยม แล้วเปิดโหมดสำรวจ ดูว่าพิกัดของ A′ B′ C′ ในตารางเท่ากับพิกัดของ A B C บวกด้วย (3, −2) ทุกจุดหรือไม่ จากนั้นลาก Q ไปที่อื่นแล้วสังเกตอีกครั้ง

ห้องทดลองการเลื่อนขนาน

สร้างภาพการเลื่อนขนานด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน

เลื่อนPQ = (5, 2)

ลองคิดด้วยตัวเอง

เช็กความเข้าใจ

จุด A(2, −3) เลื่อนขนานไปทางซ้าย 4 หน่วย และขึ้น 5 หน่วย จุดภาพ A′ คือจุดใด

(6, 2)

(−2, 2)

(−2, −8)

(6, −8)

← กลับไปเลือกบทเรียน

การเลื่อนขนานคืออะไร

สมบัติของการเลื่อนขนาน

สร้างภาพการเลื่อนขนานด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน

การเลื่อนขนานบนระนาบพิกัด

หาการเลื่อนจากจุดเดิมและจุดภาพ

เลื่อนขนานสองครั้งต่อกัน

การเลื่อนขนานในชีวิตประจำวัน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ใช้ห้องทดลองการเลื่อนขนาน

เช็กความเข้าใจ

บทเรียนอื่นในหมวดเรขาคณิต

การสร้างทางเรขาคณิต

การหมุน การสะท้อน และการเลื่อนขนาน

การสะท้อน