การหมุน
การหมุนรูปรอบจุดหมุนด้วยมุมและทิศทางที่กำหนด สมบัติของการหมุน การสร้างภาพด้วยโพรแทรกเตอร์และวงเวียน ที่มาของสูตรพิกัดเมื่อหมุน 90° 180° และ 270° รอบจุดกำเนิดและรอบจุดอื่น พร้อมการนำไปใช้กับเข็มนาฬิกา หุ่นยนต์ และลวดลาย
การหมุนคืออะไร
การหมุน (rotation) คือการแปลงทางเรขาคณิตที่ย้ายทุกจุดของรูปไปรอบจุดคงที่จุดหนึ่ง เรียกว่าจุดหมุน การหมุนหนึ่งครั้งต้องบอกให้ครบ 3 อย่าง ได้แก่ จุดหมุน ขนาดของมุมที่หมุน และทิศทาง คือทวนเข็มนาฬิกาหรือตามเข็มนาฬิกา ในคณิตศาสตร์นิยมให้การหมุนทวนเข็มนาฬิกามีทิศทางเป็นบวก จุดที่ได้หลังหมุนเรียกว่าจุดภาพ และเขียนชื่อด้วยเครื่องหมาย ′ เช่น ภาพของ A คือ A′
หมุนรูปสามเหลี่ยม ABC รอบจุด P เป็นมุม 90° ทวนเข็มนาฬิกา จะได้รูปสามเหลี่ยม A′B′C′ ถ้าบอกเพียงว่า “หมุน 90°” โดยไม่บอกทิศทาง จะได้คำตอบไม่แน่นอน เพราะการหมุน 90° ตามเข็มนาฬิกาให้รูปที่อยู่คนละที่กัน
สมบัติของการหมุน
ทุกจุดบนรูปเคลื่อนที่ไปตามส่วนโค้งของวงกลมที่มีจุดหมุน P เป็นจุดศูนย์กลาง จึงได้สมบัติสำคัญ 4 ข้อ ข้อแรก ระยะจาก P ถึงจุดเดิมเท่ากับระยะจาก P ถึงจุดภาพ เช่น PA = PA′ ข้อสอง มุมที่มี P เป็นจุดยอด ระหว่างจุดเดิมกับจุดภาพ เท่ากับมุมที่หมุนทุกจุด เช่น ∠APA′ = ∠BPB′ ข้อสาม รูปที่ได้เท่ากันทุกประการกับรูปต้นแบบ ความยาวด้านและขนาดมุมไม่เปลี่ยน เปลี่ยนเพียงตำแหน่งและทิศที่รูปหันไป ข้อสี่ จุดหมุนเป็นจุดเดียวที่อยู่กับที่ และการหมุน 360° จะได้รูปทับที่เดิม
หมุนรูปสามเหลี่ยมที่มี AB = 3 หน่วย และ ∠ABC = 90° รอบจุด P เป็นมุม 60° จะได้ A′B′ = 3 หน่วย และ ∠A′B′C′ = 90° เหมือนเดิม ถ้า PA = 5 หน่วย จะได้ PA′ = 5 หน่วย และ ∠APA′ = 60°
สร้างภาพการหมุนด้วยโพรแทรกเตอร์และวงเวียน
สร้างภาพทีละจุดยอดตามสมบัติข้างต้น ขั้นที่ 1 ลากส่วนของเส้นตรงจาก P ไปยังจุดยอด A ขั้นที่ 2 วางจุดศูนย์กลางของโพรแทรกเตอร์ที่ P ให้ฐานทับแนว PA แล้ววัดมุมตามขนาดและทิศทางที่กำหนด ลากรังสีจาก P ผ่านจุดที่วัดได้ ขั้นที่ 3 กางวงเวียนให้รัศมียาวเท่ากับ PA วางปลายเหล็กแหลมที่ P แล้วเขียนส่วนโค้งตัดรังสี จุดตัดคือ A′ ทำซ้ำกับจุดยอดที่เหลือ แล้วลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดภาพตามลำดับเดียวกับรูปเดิม
หมุนส่วนของเส้นตรง AB รอบ P เป็นมุม 90° ตามเข็มนาฬิกา วัดมุม 90° จาก PA ไปทางตามเข็มนาฬิกาแล้วกางวงเวียนยาว PA ได้ A′ ทำแบบเดียวกันกับ B ได้ B′ จากนั้นลาก A′B′ ซึ่งยาวเท่ากับ AB และตั้งฉากกับ AB
ที่มาของสูตร: หมุน 90° ทวนเข็มนาฬิการอบจุดกำเนิด
ให้ A(x, y) อยู่ในจตุภาคที่ 1 ลากเส้นตั้งฉากจาก A ลงแกน X ที่จุด B(x, 0) จะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก OBA ที่มี OB ยาว x หน่วยตามแนวแกน X และ BA ยาว y หน่วยในแนวขึ้น หมุนรูปสามเหลี่ยมทั้งรูปรอบ O เป็นมุม 90° ทวนเข็มนาฬิกา ด้าน OB ที่ชี้ไปทางขวาจะชี้ขึ้นตามแกน Y จึงได้ B′(0, x) ส่วนด้าน BA ที่ชี้ขึ้นจะชี้ไปทางซ้าย ยาวเท่าเดิมคือ y หน่วย จาก B′ เดินไปทางซ้าย y หน่วย จึงได้ A′(−y, x) สรุปว่าการหมุน 90° ทวนเข็มนาฬิการอบจุดกำเนิดเปลี่ยน (x, y) เป็น (−y, x) คือสลับตำแหน่ง x กับ y แล้วเปลี่ยนเครื่องหมายของพิกัดแรก เหตุผลนี้ใช้ได้กับจุดในทุกจตุภาค
A(3, 2) หมุน 90° ทวนเข็มนาฬิการอบจุดกำเนิด ได้ A′(−2, 3) ตรวจสอบระยะ OA = √(3² + 2²) = √13 และ OA′ = √((−2)² + 3²) = √13 เท่ากัน และ A อยู่จตุภาคที่ 1 ส่วน A′ อยู่จตุภาคที่ 2 ซึ่งเป็นจตุภาคถัดไปทางทวนเข็มนาฬิกาพอดี
หมุน 180° และ 270°: หมุน 90° ซ้ำหลายครั้ง
การหมุน 180° คือการหมุน 90° สองครั้ง ใช้สูตรเดิมซ้ำ (x, y) → (−y, x) → (−x, −y) จึงได้ว่าการหมุน 180° รอบจุดกำเนิดเปลี่ยน (x, y) เป็น (−x, −y) และให้ผลเหมือนกันทั้งทวนเข็มและตามเข็มนาฬิกา จุดเดิม จุดกำเนิด และจุดภาพอยู่บนเส้นตรงเดียวกันโดยมีจุดกำเนิดเป็นจุดกึ่งกลาง การหมุน 270° ทวนเข็มนาฬิกาคือหมุน 90° สามครั้ง (x, y) → (−y, x) → (−x, −y) → (y, −x) ซึ่งเป็นตำแหน่งเดียวกับการหมุน 90° ตามเข็มนาฬิกา
B(4, −1) หมุน 180° รอบจุดกำเนิด ได้ B′(−4, 1) ส่วน C(2, 5) หมุน 90° ตามเข็มนาฬิกา (หรือ 270° ทวนเข็มนาฬิกา) ได้ C′(5, −2) ตรวจกลับโดยหมุน C′(5, −2) ไป 90° ทวนเข็มนาฬิกาด้วย (−y, x) จะได้ (2, 5) คือจุด C เดิม
สรุปสูตรการหมุนรอบจุดกำเนิด
หมุน 90° ทวนเข็มนาฬิกา หรือ 270° ตามเข็มนาฬิกา: (x, y) → (−y, x) หมุน 180° ทิศใดก็ได้: (x, y) → (−x, −y) หมุน 270° ทวนเข็มนาฬิกา หรือ 90° ตามเข็มนาฬิกา: (x, y) → (y, −x) หมุน 360°: (x, y) → (x, y) วิธีจำง่าย ๆ คือหมุน 90° ต้องสลับ x กับ y เสมอ แล้วดูว่าจุดภาพควรอยู่จตุภาคใด จึงเติมเครื่องหมายลบให้ถูกตำแหน่ง
จุด D(−3, 1) อยู่จตุภาคที่ 2 หมุน 90° ทวนเข็มนาฬิกาได้ (−1, −3) อยู่จตุภาคที่ 3 หมุน 180° ได้ (3, −1) อยู่จตุภาคที่ 4 และหมุน 90° ตามเข็มนาฬิกาได้ (1, 3) อยู่จตุภาคที่ 1
หมุนรอบจุดที่ไม่ใช่จุดกำเนิด
ถ้าจุดหมุนคือ P(a, b) ให้ใช้ 3 ขั้น ขั้นที่ 1 เลื่อนขนานทั้งรูปให้ P ไปอยู่ที่จุดกำเนิด โดยลบ (a, b) ออกจากทุกจุด ขั้นที่ 2 หมุนรอบจุดกำเนิดด้วยสูตรในตารางสรุป ขั้นที่ 3 เลื่อนกลับโดยบวก (a, b) สำหรับการหมุน 90° ทวนเข็มนาฬิกาจะได้สูตร (x, y) → (a − (y − b), b + (x − a)) วิธีนี้ใช้ได้เพราะการเลื่อนขนานไม่เปลี่ยนระยะและมุม
หมุน A(4, 3) รอบ P(1, 2) เป็นมุม 90° ทวนเข็มนาฬิกา ขั้นที่ 1 A − P = (3, 1) ขั้นที่ 2 หมุนได้ (−1, 3) ขั้นที่ 3 บวก P กลับได้ A′(0, 5) ตรวจ PA = √(3² + 1²) = √10 และ PA′ = √((0 − 1)² + (5 − 2)²) = √10
ต่อยอด: สูตรการหมุนมุมใด ๆ
ถ้า A อยู่ห่างจุดกำเนิด r หน่วย และ OA ทำมุม α กับแกน X จะได้ x = r cos α และ y = r sin α เมื่อหมุนไป θ ทวนเข็มนาฬิกา จุดภาพทำมุม α + θ จึงได้ x′ = r cos(α + θ) และ y′ = r sin(α + θ) กระจายด้วยสูตรผลบวกของมุมจะได้ x′ = x cos θ − y sin θ และ y′ = x sin θ + y cos θ สูตรนี้ใช้ในชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย และเป็นสูตรที่โปรแกรมคอมพิวเตอร์ใช้หมุนภาพ
แทน θ = 90° ซึ่ง cos 90° = 0 และ sin 90° = 1 จะได้ x′ = −y และ y′ = x ตรงกับสูตร (x, y) → (−y, x) และแทน θ = 180° ซึ่ง cos 180° = −1 และ sin 180° = 0 จะได้ (−x, −y)
นำไปใช้: เข็มนาฬิกาและแขนหุ่นยนต์
เข็มนาทีหมุนรอบจุดกึ่งกลางหน้าปัด 360° ใน 60 นาที จึงหมุนนาทีละ 6° ตามเข็มนาฬิกา ส่วนเข็มชั่วโมงหมุนชั่วโมงละ 30° ถ้าวางจุดกึ่งกลางหน้าปัดที่จุดกำเนิด ตำแหน่งปลายเข็มหาได้จากสูตรการหมุน แขนหุ่นยนต์และบานประตูใช้หลักเดียวกัน ข้อต่อคือจุดหมุน และปลายแขนเคลื่อนตามส่วนโค้งวงกลมรัศมีเท่าความยาวแขน
ปลายเข็มนาทียาว 5 หน่วย ตอน 12:00 อยู่ที่ (0, 5) ผ่านไป 15 นาทีเข็มหมุน 15 × 6° = 90° ตามเข็มนาฬิกา ใช้ (x, y) → (y, −x) ได้ (5, 0) คือชี้เลข 3 พอดี ผ่านไป 30 นาทีหมุน 180° ได้ (0, −5) คือชี้เลข 6
นำไปใช้: ลวดลายและสมมาตรการหมุน
ถ้าหมุนรูปไปน้อยกว่า 360° แล้วรูปทับรอยเดิมพอดี จะกล่าวว่ารูปนั้นมีสมมาตรการหมุน จำนวนครั้งที่รูปทับรอยเดิมในการหมุนครบรอบเรียกว่าอันดับของสมมาตรการหมุน หาได้จาก 360° ÷ มุมที่น้อยที่สุดที่ทำให้ทับรอยเดิม พบได้ในใบพัด กังหันลม ล้อรถ ดอกไม้ ลายกระเบื้อง ลายไทย และโลโก้ นักออกแบบสร้างลวดลายโดยวาดชิ้นส่วนเดียวแล้วหมุนซ้ำรอบจุดศูนย์กลาง
กังหันลมมี 3 ใบ เว้นระยะเท่ากัน หมุน 360° ÷ 3 = 120° ก็ทับรอยเดิม จึงมีสมมาตรการหมุนอันดับ 3 ดาว 5 แฉกหมุน 72° ก็ทับรอยเดิม มีสมมาตรการหมุนอันดับ 5
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
ข้อแรก สลับสูตร 90° ทวนเข็มกับตามเข็มนาฬิกา ให้ตรวจด้วยจตุภาค หมุนทวนเข็มนาฬิกา 90° จุดจะไปจตุภาคถัดไปตามลำดับ 1 → 2 → 3 → 4 ข้อสอง หมุนรอบจุดอื่นแต่ใช้สูตรของจุดกำเนิดตรง ๆ ต้องเลื่อนให้จุดหมุนไปที่จุดกำเนิดก่อน ข้อสาม วัดมุมจากเส้นที่ไม่ผ่านจุดหมุน มุมที่หมุนต้องวัดจากแนว PA เสมอ ข้อสี่ ลืมว่ารูปภาพต้องเท่ากันทุกประการ ถ้าด้านยาวไม่เท่าเดิมแสดงว่าสร้างผิด
หมุน A(3, 2) ไป 90° ทวนเข็มนาฬิการอบจุดกำเนิด ถ้าตอบ (2, −3) จุดจะอยู่จตุภาคที่ 4 ซึ่งเป็นผลของการหมุนตามเข็มนาฬิกา คำตอบที่ถูกคือ (−2, 3) ในจตุภาคที่ 2
ใช้ห้องทดลองการหมุน
โหมดสร้างด้วยเครื่องมือให้สร้างภาพทีละจุดยอดเหมือนทำบนกระดาษ วางโพรแทรกเตอร์ที่ P หมุนฐานให้เลข 0 ชี้ไปที่จุดยอด ลากจุดแดงไปที่มุมที่ต้องการ แล้วใช้วงเวียนกางรัศมีเท่ากับระยะจาก P ถึงจุดยอด แผงด้านข้างจะติ๊กรายการตรวจให้ทันทีเมื่อวางเครื่องมือถูก ถ้าติดขั้นไหนกดปุ่มเฉลยเพื่อดูเครื่องมือวางเองทีละขั้น เลือกวาดรูปเองได้สูงสุด 8 จุด โหมดสำรวจมีแถบเลื่อนมุม 0°–360° พร้อมตารางพิกัดของจุดเดิมและจุดภาพ ใช้ตรวจสูตรได้โดยวาง P ที่จุดกำเนิด ย้ายแถบเครื่องมือและจัดหน้าจอได้ตามสะดวก
ลองวาง P ที่ (0, 0) เลือกรูปสามเหลี่ยม หมุน 90° ทวนเข็มนาฬิกา แล้วเปิดโหมดสำรวจ ดูว่าพิกัดของ A′ B′ C′ ในตารางตรงกับ (−y, x) ของ A B C ทุกจุดหรือไม่ จากนั้นเปลี่ยนเป็น 180° และ 270°
ห้องทดลองการหมุน
สร้างภาพการหมุนด้วยโพรแทรกเตอร์และวงเวียนเช็กความเข้าใจ
บทเรียนอื่นในหมวดเรขาคณิต
การสร้างทางเรขาคณิต
ฝึกใช้ไม้บรรทัด สันตรง วงเวียน และโพรแทรกเตอร์ แล้วสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิต 6 ข้อ คือ สร้างส่วนของเส้นตรงให้ยาวเท่ากับที่กำหนด แบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง สร้างมุมให้เท่ากับมุมที่กำหนด แบ่งครึ่งมุม และสร้างเส้นตั้งฉาก 2 แบบ ต่อยอดไปสร้างมุม 60°, 45°, 30° สามเหลี่ยมด้านเท่า และเส้นขนาน พร้อมห้องทดลองที่ตรวจทุกขั้นตอน และกระดานอิสระสำหรับครูออกแบบโจทย์ ซ่อนเครื่องมือ และบันทึกภาพไปทำข้อสอบ
เริ่มเรียน
การหมุน การสะท้อน และการเลื่อนขนาน
ทดลองการแปลงทางเรขาคณิต 3 แบบบนระนาบพิกัด คือ การหมุน การสะท้อน และการเลื่อนขนาน แล้วนำมาต่อกันได้ 2 ครั้ง ดูภาพและพิกัดที่เปลี่ยนไปได้ทันที
เริ่มเรียน
การเลื่อนขนาน
การเลื่อนรูปไปตามทิศทางและระยะทางที่กำหนดด้วยรังสี PQ สมบัติของการเลื่อนขนาน การสร้างภาพด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน การเลื่อนขนานบนระนาบพิกัด (x, y) → (x + a, y + b) และการหาเวกเตอร์การเลื่อนจากจุดเดิมกับจุดภาพ พร้อมห้องทดลองสร้างภาพทีละขั้นและโหมดสำรวจ
เริ่มเรียน