ม.ต้น · 45 นาที

การสร้างทางเรขาคณิต

โดย ทีมงาน Math Zom · เผยแพร่ 18 ตุลาคม 2569

ฝึกใช้ไม้บรรทัด สันตรง วงเวียน และโพรแทรกเตอร์ แล้วสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิต 6 ข้อ คือ สร้างส่วนของเส้นตรงให้ยาวเท่ากับที่กำหนด แบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง สร้างมุมให้เท่ากับมุมที่กำหนด แบ่งครึ่งมุม และสร้างเส้นตั้งฉาก 2 แบบ ต่อยอดไปสร้างมุม 60°, 45°, 30° สามเหลี่ยมด้านเท่า และเส้นขนาน พร้อมห้องทดลองที่ตรวจทุกขั้นตอน และกระดานอิสระสำหรับครูออกแบบโจทย์ ซ่อนเครื่องมือ และบันทึกภาพไปทำข้อสอบ

ปกบทเรียนการสร้างทางเรขาคณิต ครูผู้หญิงถือวงเวียนผายมือไปยังภาพการแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง AB ที่จุด M ด้วยส่วนโค้งที่ตัดกันที่ C และ D พร้อมวงเวียน ไม้บรรทัด และไม้ฉาก

การสร้างทางเรขาคณิตคืออะไร

การเขียนรูปเรขาคณิตโดยใช้เพียงวงเวียนและสันตรง เรียกว่า การสร้าง (geometric construction) สันตรงมีลักษณะเหมือนไม้บรรทัดแต่ไม่มีขีดบอกความยาว ถ้าใช้ไม้บรรทัดแทนสันตรง ให้ใช้ลากเส้นเท่านั้น ไม่ใช้วัด การสร้างจึงได้รูปที่ถูกต้องจากสมบัติของรูปเรขาคณิต ไม่ได้มาจากการวัด

ตัวอย่าง

ในสมัยกรีก นักคณิตศาสตร์สร้างรูปเรขาคณิตด้วยวงเวียนกับสันตรงเท่านั้น ปัจจุบันวิศวกร สถาปนิก และนักออกแบบผลิตภัณฑ์ยังใช้ความรู้เรื่องจุด เส้นตรง ส่วนของเส้นตรง รังสี และมุม ในการออกแบบชิ้นงาน

อธิบายว่าการสร้างคือการเขียนรูปด้วยวงเวียนและสันตรง วงเวียนใช้วาดวงกลมและส่วนโค้ง สันตรงใช้ลากเส้นผ่านสองจุด ใช้ไม้บรรทัดแทนได้แต่ไม่อ่านขีดวัด และตัวอย่าง 4 ขั้นสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC จากส่วนโค้งรัศมี AB ที่ศูนย์กลาง A และ B — ตัวอย่างการสร้างด้วยวงเวียนและสันตรง ขีดส่วนโค้งรัศมี AB จาก A และ B ให้ตัดกันที่ C ได้สามเหลี่ยมด้านเท่า ABC

รู้จักเครื่องมือ 4 อย่าง

ไม้บรรทัดมีขีดยาวทุก 1 เซนติเมตรและขีดสั้นทุก 1 มิลลิเมตร ใช้วัดและลากเส้นตามความยาวที่ต้องการ สันตรงใช้ลากเส้นผ่านจุดสองจุดอย่างเดียว วงเวียนมีขาเหล็กแหลมปักที่จุดศูนย์กลาง และขาดินสอใช้ขีดวงกลมหรือส่วนโค้ง ระยะกางระหว่างสองขาคือรัศมี และจำระยะไว้ใช้ย้ายความยาวได้ ส่วนโพรแทรกเตอร์ใช้วัดและสร้างมุม โดยวางจุดศูนย์กลางที่จุดยอดมุม ให้ฐานทับแขนข้างหนึ่ง แล้วอ่านสเกลที่เริ่มนับ 0 จากแขนข้างนั้น

ตัวอย่าง

วัด ∠AOB ด้วยโพรแทรกเตอร์ ถ้าแขน OA อยู่ทางขวาและสเกลวงในเริ่มที่ 0 ทางขวา อ่านได้ 50 ส่วนสเกลวงนอกอ่านได้ 130 มุมนี้มีขนาด 50° เพราะต้องอ่านวงที่เริ่มจาก 0 ที่แขน OA

เครื่องมือ 4 อย่าง ไม้บรรทัดมีสเกลเซนติเมตร สันตรงขอบเรียบไม่มีสเกล วงเวียนวาดวงกลมและย้ายระยะ โพรแทรกเตอร์มีสเกล 2 ชุด ด้านล่างวัด ∠AOB โดยวางศูนย์กลางที่ O แขน OA อยู่ทางขวา แขน OB ตัดสเกลวงใน 50° และสเกลวงนอก 130° — แขน OA อยู่ทางขวาและสเกลวงในเริ่มที่ 0 ทางขวา จึงอ่าน ∠AOB = 50° ไม่ใช่ 130° จากสเกลวงนอก

การสร้างพื้นฐาน 6 ข้อ

การสร้างรูปเรขาคณิตทั้งหมดในบทนี้ต่อยอดมาจากการสร้างพื้นฐาน 6 ข้อ แบ่งเป็น 3 กลุ่ม กลุ่มที่ 1 การสร้างเกี่ยวกับส่วนของเส้นตรง คือ (1) สร้างส่วนของเส้นตรงให้ยาวเท่ากับที่กำหนด (2) แบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง กลุ่มที่ 2 การสร้างเกี่ยวกับมุม คือ (3) สร้างมุมให้มีขนาดเท่ากับมุมที่กำหนด (4) แบ่งครึ่งมุม กลุ่มที่ 3 การสร้างเกี่ยวกับเส้นตั้งฉาก คือ (5) สร้างเส้นตั้งฉากจากจุดภายนอกมายังเส้นตรง (6) สร้างเส้นตั้งฉากที่จุดบนเส้นตรง

ตัวอย่าง

สร้างมุม 45° ใช้การสร้างพื้นฐาน 2 ข้อต่อกัน คือ สร้างเส้นตั้งฉากที่จุดบนเส้นตรงได้มุม 90° แล้วแบ่งครึ่งมุม ได้ 90° ÷ 2 = 45°

การสร้างพื้นฐาน 6 ข้อ สร้างส่วนของเส้นตรง CD ยาวเท่ากับ AB แบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงที่ M สร้างมุมเท่ามุมที่กำหนด แบ่งครึ่งมุม สร้างเส้นตั้งฉาก PH จากจุดภายนอก และสร้างเส้นตั้งฉากที่จุด P บนเส้นตรง ด้านล่างแสดงการสร้างมุม 45° จากมุมฉาก 90° ที่ถูกแบ่งครึ่ง — สร้างมุม 45° โดยสร้างเส้นตั้งฉากให้ได้มุม 90° แล้วแบ่งครึ่งมุม ได้ 90° ÷ 2 = 45°

การสร้างเกี่ยวกับส่วนของเส้นตรง

สร้าง CD ให้ยาวเท่ากับ AB: กางวงเวียนให้ปลายเหล็กแหลมอยู่ที่ A และปลายดินสออยู่ที่ B แล้วย้ายไปปักที่ C ขีดส่วนโค้ง จุดใดบนส่วนโค้งก็เป็นจุด D ได้ แบ่งครึ่ง AB: กางวงเวียนให้ยาวเกินครึ่งหนึ่งของ AB ปักที่ A และที่ B ขีดส่วนโค้งด้วยระยะเท่ากันให้ตัดกันสองจุด ลากเส้นผ่านจุดตัดทั้งสอง เส้นนี้ตัด AB ที่จุดกึ่งกลาง และตั้งฉากกับ AB ด้วย

ตัวอย่าง

ถ้า AB ยาว 8 ซม. ต้องกางวงเวียนมากกว่า 4 ซม. เช่น 5 ซม. ถ้ากางเพียง 3 ซม. ส่วนโค้งจาก A และ B จะไม่ตัดกัน เมื่อสร้างเสร็จ จุดกึ่งกลาง M ทำให้ AM = MB = 4 ซม.

ซ้ายแสดงการสร้าง CD ให้ยาวเท่ากับ AB โดยกางวงเวียนเท่า AB แล้วปักที่ C ขีดส่วนโค้งตัดรังสีที่ D ขวาแสดงการแบ่งครึ่ง AB จาก A(−4, 0) และ B(4, 0) ด้วยรัศมี 5 ซม. ส่วนโค้งตัดกันที่ U(0, 3) และ V(0, −3) ได้จุดกึ่งกลาง M(0, 0) — AB ยาว 8 ซม. กางวงเวียน 5 ซม. ซึ่งมากกว่าครึ่งหนึ่งของ AB ส่วนโค้งจึงตัดกัน ได้ AM = MB = 4 ซม.

การสร้างเกี่ยวกับมุม

สร้างมุมให้เท่ากับ ∠XYZ ที่จุด P: ปักวงเวียนที่ Y ขีดส่วนโค้งตัดแขนทั้งสอง ใช้รัศมีเดิมปักที่ P ขีดส่วนโค้งตัด PQ จากนั้นกางวงเวียนเท่าระยะระหว่างจุดตัดบนแขนทั้งสองของมุมเดิม ไปปักที่จุดตัดบน PQ ขีดตัดส่วนโค้ง แล้วลากเส้นจาก P ผ่านจุดตัดนั้น แบ่งครึ่งมุม: ปักที่จุดยอดขีดส่วนโค้งตัดแขนทั้งสอง แล้วปักที่จุดตัดแต่ละจุด ขีดส่วนโค้งรัศมีเท่ากันให้ตัดกันด้านในมุม ลากเส้นจากจุดยอดผ่านจุดตัด

ตัวอย่าง

แบ่งครึ่ง ∠AOB ขนาด 70° จะได้มุมเล็กสองมุม มุมละ 70° ÷ 2 = 35° ตรวจได้โดยวัดด้วยโพรแทรกเตอร์

ซ้ายแสดงการสร้าง ∠QPD ให้เท่ากับ ∠XYZ ขนาด 60° ด้วยส่วนโค้งรัศมีเดิมและการย้ายระยะระหว่างจุดตัด ขวาแสดงการแบ่งครึ่ง ∠AOB ขนาด 70° โดยขีดส่วนโค้งตัดแขนที่ U และ V ให้ส่วนโค้งตัดกันที่ T แล้วลากรังสี OT ได้มุมละ 35° — แบ่งครึ่ง ∠AOB ขนาด 70° ด้วยรังสี OT ได้มุมเล็กสองมุม มุมละ 70° ÷ 2 = 35°

การสร้างเกี่ยวกับเส้นตั้งฉาก

จากจุด P ภายนอกเส้นตรง: ปักที่ P ขีดส่วนโค้งตัดเส้นตรงสองจุด ปักที่จุดตัดทั้งสองขีดส่วนโค้งรัศมีเท่ากันให้ตัดกันอีกด้านของเส้น แล้วลากเส้นจาก P ผ่านจุดตัดนั้น ที่จุด P บนเส้นตรง: ปักที่ P ขีดส่วนโค้งตัดเส้นตรงสองข้าง กางวงเวียนให้กว้างขึ้น ปักที่จุดตัดทั้งสองขีดส่วนโค้งให้ตัดกัน แล้วลากเส้นจาก P ผ่านจุดตัด ทั้งสองแบบใช้หลักเดียวกับการแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง

ตัวอย่าง

บ้านอยู่ห่างจากถนนตรง ทางเดินที่สั้นที่สุดจากบ้านถึงถนนคือแนวที่ตั้งฉากกับถนน จึงใช้การสร้างเส้นตั้งฉากจากจุดภายนอกหาแนวทางเดินได้

ซ้ายแสดงการสร้างเส้นตั้งฉากจากจุด P(0, 3) ภายนอกเส้นตรง l ขีดส่วนโค้งตัดเส้นที่ A(−4, 0) และ B(4, 0) แล้วขีดจาก A และ B ให้ตัดกันที่ Q(0, −3) ได้ PQ ตั้งฉากกับ l ที่ H(0, 0) ขวาแสดงการสร้างเส้นตั้งฉากที่จุด P(0, 0) บนเส้นตรงผ่านจุดตัด Q(0, 4) ด้านล่างระบุว่าทางเดินสั้นที่สุดจากจุดถึงเส้นตรงคือแนวตั้งฉาก — ทางเดินที่สั้นที่สุดจากบ้านถึงถนนตรงคือแนวตั้งฉาก ซึ่งสร้างได้ด้วยวิธีสร้างเส้นตั้งฉากจากจุดภายนอก

สร้างมุมขนาดต่าง ๆ และรูปเรขาคณิต

มุม 60°: ปักที่ O ขีดส่วนโค้งตัดแขน OA ที่ S ใช้รัศมีเดิมปักที่ S ขีดตัดส่วนโค้งแรก ลากเส้นจาก O ผ่านจุดตัด เพราะได้สามเหลี่ยมด้านเท่า มุม 90° ได้จากการสร้างเส้นตั้งฉาก มุม 30° และ 45° ได้จากการแบ่งครึ่งมุม 60° และ 90° สามเหลี่ยมด้านเท่าที่มี AB เป็นฐาน: กางวงเวียนยาว AB ปักที่ A และ B ขีดส่วนโค้งตัดกันที่ C เส้นขนาน: ลากเส้นตัดผ่านจุด P แล้วสร้างมุมที่จุด P ให้เท่ากับมุมที่เส้นตัดทำกับเส้นเดิม

ตัวอย่าง

มุม 120° = 180° − 60° สร้างมุม 60° บนเส้นตรงแล้วใช้มุมที่อยู่อีกด้านของเส้นได้ทันที ส่วนมุม 15° ได้จากการแบ่งครึ่งมุม 30° อีกครั้ง

การสร้าง 6 แบบ มุม 60° จากสามเหลี่ยมด้านเท่า OST มุม 90° จากเส้นตั้งฉาก มุม 30° และ 45° จากการแบ่งครึ่งมุม 60° และ 90° สามเหลี่ยมด้านเท่า ABC เส้นขนานจากการคัดลอกมุมสมนัย และต่อยอดเป็นมุม 120° = 180° − 60° กับมุม 15° = 30° ÷ 2 — มุม 120° ได้จากมุมอีกด้านของมุม 60° บนเส้นตรง ส่วนมุม 15° ได้จากการแบ่งครึ่งมุม 30° อีกครั้ง

วิธีใช้ห้องทดลอง

โหมด “ฝึกตามขั้นตอน” มีโจทย์ 15 ข้อเรียงจากรู้จักเครื่องมือ การสร้างพื้นฐาน 6 ข้อ ไปจนถึงสร้างมุมและรูป ขั้นที่ทำถูกจะติ๊กให้เองบนแผงด้านข้าง กดตรวจคำตอบเมื่อสร้างเสร็จ และกดดูเฉลยเพื่อเห็นแนวการสร้างเป็นเส้นประ โหมด “กระดานอิสระ / ออกแบบโจทย์” มีปากกา ข้อความ ยางลบ แทรกรูป และเครื่องมือทั้งหมด ครูกดซ่อนเครื่องมือเพื่อเหลือแต่กระดาน แล้วบันทึกภาพ PNG หรือคัดลอกภาพไปวางในใบงานหรือข้อสอบได้ รูปที่แทรกเก็บไว้ชั่วคราวในเบราว์เซอร์ และไม่ติดไปกับลิงก์แชร์

ตัวอย่าง

ลองข้อ “สร้างมุม 45°” ปักวงเวียนที่ X ขีดส่วนโค้งตัดเส้นตรงสองข้าง สร้างเส้นตั้งฉาก แล้วแบ่งครึ่งมุมฉาก จากนั้นเปิดโพรแทรกเตอร์ในกระดานอิสระเพื่อวัดตรวจว่าได้ 45° จริง

วิธีใช้ห้องทดลอง 3 ส่วน ฝึกตามขั้นตอน 15 โจทย์พร้อมรายการตรวจสอบและเฉลยโจทย์สร้างมุม 45° กระดานอิสระที่มีปากกา ข้อความ ยางลบ แทรกรูป วงเวียน และสันตรง และลำดับลองสร้างมุม 45° จากเส้นตั้งฉากที่ O แบ่งครึ่งมุมฉาก แล้ววัดตรวจด้วยโพรแทรกเตอร์ — ข้อสร้างมุม 45° สร้างเส้นตั้งฉาก แบ่งครึ่งมุมฉาก แล้วใช้โพรแทรกเตอร์ในกระดานอิสระวัดตรวจว่าได้ 45° จริง

ห้องทดลองการสร้างทางเรขาคณิต

วงเวียน ไม้บรรทัด สันตรง และโพรแทรกเตอร์

โจทย์

ไม้บรรทัด: ลากเส้นยาว 6 ซม.

รู้จักเครื่องมือ · ข้อ 1 จาก 15

ลากส่วนของเส้นตรงจากจุด A ให้ยาว 6 เซนติเมตร จะลากไปทางไหนก็ได้

ไม้บรรทัดมีขีดบอกความยาว ขีดยาวทุก 1 ซม. ขีดสั้นทุก 1 มม. ส่วนสันตรงใช้ลากเส้นอย่างเดียว

กดปุ่ม ไม้บรรทัด แล้วลากตัวไม้บรรทัดให้ขอบล่างแตะจุด A (เข้าใกล้แล้วจะดูดเข้าเอง)
เลือก เส้นตรง กดที่จุด A แล้วลากไปตามขอบไม้บรรทัด ดูตัวเลขความยาวข้างเส้น
ปล่อยเมื่ออ่านได้ 6.0 ซม. แล้วกด ตรวจคำตอบ

ลองคิดด้วยตัวเอง

เช็กความเข้าใจ

ต้องการสร้างมุมขนาด 30° โดยใช้วงเวียนและสันตรงเท่านั้น ข้อใดเป็นวิธีที่ถูกต้อง

สร้างมุม 90° แล้วแบ่งครึ่งหนึ่งครั้ง

สร้างมุม 60° แล้วแบ่งครึ่งหนึ่งครั้ง

สร้างมุม 60° แล้วแบ่งครึ่งสองครั้ง

ใช้ไม้บรรทัดวัดให้แขนมุมยาว 3 ซม.

← กลับไปเลือกบทเรียน

การสร้างทางเรขาคณิตคืออะไร

รู้จักเครื่องมือ 4 อย่าง

การสร้างพื้นฐาน 6 ข้อ

การสร้างเกี่ยวกับส่วนของเส้นตรง

การสร้างเกี่ยวกับมุม

การสร้างเกี่ยวกับเส้นตั้งฉาก

สร้างมุมขนาดต่าง ๆ และรูปเรขาคณิต

วิธีใช้ห้องทดลอง

เช็กความเข้าใจ

บทเรียนอื่นในหมวดเรขาคณิต

การหมุน การสะท้อน และการเลื่อนขนาน

การเลื่อนขนาน

การสะท้อน