พื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด
ที่มาของสูตรพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด เทียบกับเต็นท์ หลังคา และมหาพีระมิด แล้วทดลองคลี่รูปและเทน้ำในห้องทดลองสามมิติ พร้อมแบบทดสอบ 10 ข้อ
รู้จักส่วนต่าง ๆ ของพีระมิด
พีระมิดคือรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม และมีหน้าข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกัน บทนี้ใช้พีระมิดฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า ซึ่งยอดอยู่ตรงจุดศูนย์กลางฐานพอดี หน้าข้างทุกหน้าจึงเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่เท่ากันทุกประการ ความสูง h วัดจากยอดลงมาตั้งฉากกับฐาน ส่วนความสูงเอียง l วัดจากยอดลงมาตั้งฉากกับด้านฐานที่จุดกึ่งกลาง ซึ่งก็คือความสูงของหน้าข้างแต่ละหน้า ควรรู้สูตรพื้นที่สามเหลี่ยม พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส และทฤษฎีบทพีทาโกรัสก่อนเริ่ม
h, r และ l ประกอบกันเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก จึงได้ l² = r² + h² เมื่อ r คือระยะจากจุดศูนย์กลางฐานถึงกึ่งกลางด้าน ถ้าฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน 6 ซม. และสูง 4 ซม. จะได้ r = 3 ซม. และ l = √(3² + 4²) = √25 = 5 ซม.
พีระมิดรอบตัวเรา
รูปทรงพีระมิดพบได้ทั้งในงานก่อสร้างและของใช้ เต็นท์ทรงพีระมิด หลังคาทรงพีระมิดของศาลาหรือบ้าน ถุงชาทรงพีระมิด และมหาพีระมิดแห่งกีซาในอียิปต์ ซึ่งมีฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส คำถามที่เกิดขึ้นจริงกับสิ่งเหล่านี้มีสองแบบ แบบแรกถามว่าต้องใช้วัสดุหุ้มเท่าไร เช่น ผ้าเต็นท์หรือกระเบื้องมุงหลังคา คำถามนี้คือพื้นที่ผิว แบบที่สองถามว่าจุของได้เท่าไร เช่น อากาศในเต็นท์ น้ำในภาชนะ หรือหินที่ใช้สร้างพีระมิด คำถามนี้คือปริมาตร
พื้นที่ผิวมีหน่วยเป็นตารางหน่วย เช่น ตร.ซม. หรือ ตร.ม. เพราะเป็นการวัดแผ่นที่แบนราบ ส่วนปริมาตรมีหน่วยเป็นลูกบาศก์หน่วย เช่น ลบ.ซม. หรือ ลบ.ม. เพราะวัดพื้นที่ว่างภายในทั้งสามมิติ
ที่มาของสูตรพื้นที่ผิว: คลี่รูปออกมา
ถ้าตัดตามสันข้างของพีระมิดแล้วพับหน้าข้างลงมา จะได้รูปคลี่ที่ประกอบด้วยฐาน 1 รูปและสามเหลี่ยมเท่ากันอีกเท่ากับจำนวนด้านของฐาน สามเหลี่ยมแต่ละรูปมีฐานยาว a และสูง l พื้นที่หนึ่งหน้าจึงเป็น × a × l พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ข้าง ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยคือใช้ความสูง h แทนความสูงเอียง l เพราะ h อยู่ภายในตัวพีระมิด ไม่ได้อยู่บนหน้าข้าง
พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส a = 6 ซม. h = 4 ซม. ได้ l = 5 ซม. พื้นที่ฐาน = 6 × 6 = 36 ตร.ซม. พื้นที่ข้าง = 4 × × 6 × 5 = 60 ตร.ซม. พื้นที่ผิวทั้งหมด = 36 + 60 = 96 ตร.ซม.
เทียบกับสิ่งรอบตัว: ผ้าเต็นท์ใช้กี่ตารางเมตร
เต็นท์ทรงพีระมิดใช้ผ้าทำเฉพาะหน้าข้าง ถ้าเต็นท์มีพื้นผ้าด้วยจึงบวกพื้นที่ฐานเพิ่ม หลังคาทรงพีระมิดก็ใช้แนวคิดเดียวกัน กระเบื้องที่ต้องใช้ขึ้นกับพื้นที่ข้าง ไม่ใช่พื้นที่ฐาน ความชันของหลังคาทำให้ l ยาวกว่า h เสมอ หลังคาที่สูงและชันจึงใช้กระเบื้องมากกว่าหลังคาเตี้ยบนฐานขนาดเดียวกัน
เต็นท์ฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสกว้าง 3 ม. สูง 2 ม. ได้ r = 1.5 ม. และ l = √(1.5² + 2²) = √6.25 = 2.5 ม. ผ้าหน้าข้าง = 4 × × 3 × 2.5 = 15 ตร.ม. ถ้ารวมพื้นเต็นท์อีก 3 × 3 = 9 ตร.ม. จะใช้ผ้าทั้งหมด 24 ตร.ม.
ที่มาของสูตรปริมาตร: ทำไมต้องคูณ
วิธีแรก ลากเส้นจากจุดศูนย์กลางของลูกบาศก์ด้านยาว 2s ไปยังทุกมุม จะแบ่งลูกบาศก์ออกเป็นพีระมิดที่เท่ากันทุกประการ 6 อัน แต่ละอันมีหน้าหนึ่งของลูกบาศก์เป็นฐาน และสูง s ปริมาตรหนึ่งอันจึงเป็น (2s)³ ÷ 6 = × (2s)² × s วิธีที่สอง ทดลองเทน้ำหรือทรายจากพีระมิดลงปริซึมที่มีฐานเดียวกันและสูงเท่ากัน จะเทได้ 3 ครั้งพอดี ปริมาตรพีระมิดจึงเป็น ของปริมาตรปริซึม ซึ่งใช้ได้กับฐานทุกรูปแบบ
ปริมาตรพีระมิด = × พื้นที่ฐาน × ความสูง พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน 6 ซม. สูง 4 ซม. มีปริมาตร × 36 × 4 = 48 ลบ.ซม. ส่วนปริซึมฐานเดียวกันสูงเท่ากันมีปริมาตร 36 × 4 = 144 ลบ.ซม. ซึ่งเป็น 3 เท่าพอดี
เทียบกับสิ่งรอบตัว: มหาพีระมิดใหญ่แค่ไหน
มหาพีระมิดแห่งกีซามีฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละประมาณ 230 ม. และเดิมสูงประมาณ 146 ม. เมื่อใช้สูตรจะประมาณปริมาตรได้โดยไม่ต้องนับก้อนหินทีละก้อน และเห็นได้ว่าถ้าสร้างเป็นอาคารทรงปริซึมสูงเท่ากันบนฐานเดียวกัน จะต้องใช้วัสดุมากกว่าถึง 3 เท่า ความรู้เดียวกันนี้ใช้กับของชิ้นเล็กได้ด้วย ภาชนะทรงพีระมิดที่เติมน้ำถึงครึ่งความสูงจะมีน้ำถึง ของทั้งหมด เพราะส่วนที่กว้างอยู่ด้านล่าง
ปริมาตรโดยประมาณ = × 230 × 230 × 146 = × 52,900 × 146 ≈ 2,574,467 ลบ.ม. หรือประมาณ 2.6 ล้านลูกบาศก์เมตร (ค่าจริงต่างไปเล็กน้อย เพราะความยาวที่ใช้เป็นค่าประมาณ)
ห้องทดลองพีระมิด
ปรับค่า ลากภาพเพื่อหมุน แล้วสังเกตการคำนวณถ้าเพิ่มความสูง h เป็นสองเท่า แต่ไม่เปลี่ยนด้านฐาน a พื้นที่ฐานและพื้นที่ข้างจะเปลี่ยนอย่างไร?
การคำนวณพื้นที่ผิว
- ความสูงเอียง (l) ของหน้าข้างสามเหลี่ยมมุมฉาก: ด้านประกอบมุมฉากคือ h และ r ระยะจากจุดศูนย์กลางฐานถึงกึ่งกลางด้าน ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ l (r = a2 = 3)l = √r² + h²= √9 + 4²= √25= 5 ซม.
- พื้นที่ฐาน (B)ฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสB = a × a= 6 × 6= 36 ตร.ซม.
- พื้นที่ข้าง: สามเหลี่ยม 4 หน้า4 × 12 × a × l= 4 × 12 × 6 × 5= 60 ตร.ซม.
- พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ข้าง36 + 60 = 96 ตร.ซม.
ภาพวาดตามสัดส่วนจริงของ a และ h · ค่าที่มี ≈ ปัดเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง
ทดสอบพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด
แต่ละรอบมีครบทั้ง 10 ข้อ สุ่มลำดับโจทย์และตัวเลือกโดยไม่มีโจทย์ซ้ำ ไม่จำกัดเวลา เลือกคำตอบแล้วกดข้อถัดไป ข้ามได้ ย้อนกลับไม่ได้ เฉลยเมื่อจบครบ 10 ข้อ ตอบถูกได้ 1 คะแนน ตอบผิดหรือไม่ตอบได้ 0 คะแนน
บันทึกคำตอบอัตโนมัติ รีเฟรชหรือปิดหน้าแล้วกลับมาทำต่อได้ เมื่อจบรอบสามารถเริ่มรอบใหม่ได้ โดยรอบใหม่จะแทนที่ผลเดิม ใช้ห้องทดลองด้านบนช่วยคิดได้ระหว่างทำ
กำลังตรวจสอบรอบแบบทดสอบ…
บทเรียนอื่นในหมวดเรขาคณิต
การสร้างทางเรขาคณิต
ฝึกใช้ไม้บรรทัด สันตรง วงเวียน และโพรแทรกเตอร์ แล้วสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิต 6 ข้อ คือ สร้างส่วนของเส้นตรงให้ยาวเท่ากับที่กำหนด แบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง สร้างมุมให้เท่ากับมุมที่กำหนด แบ่งครึ่งมุม และสร้างเส้นตั้งฉาก 2 แบบ ต่อยอดไปสร้างมุม 60°, 45°, 30° สามเหลี่ยมด้านเท่า และเส้นขนาน พร้อมห้องทดลองที่ตรวจทุกขั้นตอน และกระดานอิสระสำหรับครูออกแบบโจทย์ ซ่อนเครื่องมือ และบันทึกภาพไปทำข้อสอบ
เริ่มเรียน
การหมุน การสะท้อน และการเลื่อนขนาน
ทดลองการแปลงทางเรขาคณิต 3 แบบบนระนาบพิกัด คือ การหมุน การสะท้อน และการเลื่อนขนาน แล้วนำมาต่อกันได้ 2 ครั้ง ดูภาพและพิกัดที่เปลี่ยนไปได้ทันที
เริ่มเรียน
การเลื่อนขนาน
การเลื่อนรูปไปตามทิศทางและระยะทางที่กำหนดด้วยรังสี PQ สมบัติของการเลื่อนขนาน การสร้างภาพด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน การเลื่อนขนานบนระนาบพิกัด (x, y) → (x + a, y + b) และการหาเวกเตอร์การเลื่อนจากจุดเดิมกับจุดภาพ พร้อมห้องทดลองสร้างภาพทีละขั้นและโหมดสำรวจ
เริ่มเรียน