ม.ต้น · 25 นาที

พื้นที่ผิวและปริมาตรของกรวย

โดย ทีมงาน Math Zom · เผยแพร่ 9 ตุลาคม 2569 · อัปเดตล่าสุด 17 ตุลาคม 2569

ที่มาของสูตรพื้นที่ผิว πr² + πrl จากการคลี่กรวย และปริมาตร $\frac{1}{3}$ πr²h จากการเทียบกับทรงกระบอก พร้อมตัวอย่างหมวกปาร์ตี้และกองทราย แล้วทดลองคลี่กรวยและเติมน้ำในห้องทดลอง ปรับค่าได้ ขยายเต็มจอได้ และมีโจทย์ฝึก 6 ข้อ

ปกบทเรียนพื้นที่ผิวและปริมาตรของกรวย ครูยืนยกมือสองข้างตรงกลาง มีกรวยสีเหลือง ทรงกระบอกสีฟ้า และหมวกปาร์ตี้ลายทางบนพื้นครีม

รู้จักส่วนต่าง ๆ ของกรวย

กรวยคือรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นวงกลมและมีปลายแหลมเป็นจุดยอด บทนี้ใช้กรวยตรง คือกรวยที่จุดยอดอยู่เหนือจุดศูนย์กลางของฐานพอดี มีค่าสำคัญสามค่า รัศมีฐาน r วัดจากจุดศูนย์กลางฐานไปถึงขอบวงกลม ความสูง h วัดจากจุดยอดลงมาตั้งฉากกับฐาน และความยาวเส้นสร้าง l วัดจากจุดยอดไปตามผิวข้างถึงขอบฐาน ทั้งสามค่าประกอบกันเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก โดย l เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก จึงได้ l² = r² + h² และ l ยาวกว่า h และ r เสมอ

ตัวอย่าง

กรวยรัศมีฐาน 3 ม. สูง 4 ม. ได้ l = √(3² + 4²) = √25 = 5 ม. ตรวจย้อนกลับ 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² จริง

กรวยตรงรัศมี 3 สูง 4 เส้นสร้าง 5 เมตร และสามเหลี่ยมมุมฉากที่เชื่อมทั้งสามค่า — h ตั้งฉากกับฐาน ส่วน l อยู่ตามผิวข้าง: 3² + 4² = 5² จึงได้เส้นสร้างยาว 5 ม.

กรวยรอบตัวเรา

โคนไอศกรีม กรวยจราจร หมวกปาร์ตี้ กรวยกรองกาแฟ และหลังคาศาลาทรงกรวยล้วนเป็นกรวย กองทรายหรือกองข้าวเปลือกที่เทลงมาก็มักกองเป็นรูปกรวย คำถามที่พบบ่อยมีสองแบบ แบบแรกถามว่าต้องใช้วัสดุหุ้มเท่าไร เช่น กระดาษทำหมวก ผ้าคลุมกอง หรือกระเบื้องมุงหลังคา คำถามนี้คือพื้นที่ผิว แบบที่สองถามว่าจุของได้เท่าไร เช่น โคนไอศกรีมใส่ได้กี่ลูกบาศก์เซนติเมตร คำถามนี้คือปริมาตร

ตัวอย่าง

พื้นที่ผิวเป็นการวัดแผ่นแบนราบ จึงมีหน่วยเป็นตารางหน่วย เช่น ตร.ซม. หรือ ตร.ม. ส่วนปริมาตรวัดพื้นที่ว่างภายในทั้งสามมิติ จึงมีหน่วยเป็นลูกบาศก์หน่วย เช่น ลบ.ซม. หรือ ลบ.ม.

หมวกกรวยแสดงวัสดุผิวข้างเทียบกับกรวยที่แสดงพื้นที่ภายในและหน่วยวัดต่างกัน — กระดาษทำหมวกวัดพื้นที่ผิวข้างเป็นตารางหน่วย ส่วนปริมาณที่กรวยจุได้วัดเป็นลูกบาศก์หน่วย

ที่มาของสูตรพื้นที่ผิว: คลี่กรวยออกมา

ถ้าตัดผิวข้างของกรวยตามเส้นสร้างหนึ่งเส้นแล้วคลี่ออก จะได้วงกลมฐานหนึ่งรูปกับภาคตัดวงกลมหนึ่งรูป ภาคตัดวงกลมนี้มีรัศมีเท่ากับ l เพราะทุกจุดบนขอบฐานอยู่ห่างจากจุดยอดเท่ากับเส้นสร้าง และความยาวส่วนโค้งของมันเท่ากับเส้นรอบวงฐาน 2πr วงกลมเต็มรัศมี l มีเส้นรอบวง 2πl ภาคตัดวงกลมจึงเป็นส่วน $\frac{2πr}{2πl}$ = $\frac{r}{l}$ ของวงกลมใหญ่ พื้นที่ข้าง = $(\frac{r}{l})$ × πl² = πrl พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ข้าง = πr² + πrl ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยคือใช้ความสูง h แทนเส้นสร้าง l ในสูตร πrl ซึ่งทำให้ได้ค่าน้อยเกินไป

ตัวอย่าง

กรวยรัศมีฐาน 3 ม. สูง 4 ม. ได้ l = 5 ม. ใช้ π = 3.14 พื้นที่ฐาน = 3.14 × 3² = 28.26 ตร.ม. พื้นที่ข้าง = 3.14 × 3 × 5 = 47.1 ตร.ม. พื้นที่ผิวทั้งหมด = 28.26 + 47.1 = 75.36 ตร.ม. ภาคตัดวงกลมมีมุม 360° × $\frac{r}{l}$ = 360° × $\frac{3}{5}$ = 216°

รูปคลี่กรวยรัศมี 3 เส้นสร้าง 5 แสดงภาคตัดวงกลมมุม 216 องศา รัศมี 5 และวงกลมฐานรัศมี 3 ในสเกลเดียวกัน — ภาคตัดมีรัศมี l = 5 ม. ส่วนโค้งยาว 2πr เท่ากับเส้นรอบวงฐาน มุม 216° ให้พื้นที่ข้าง 47.1 ตร.ม. รวมฐานได้ 75.36 ตร.ม. เมื่อ π = 3.14

เทียบกับสิ่งรอบตัว: กระดาษทำหมวกปาร์ตี้

หมวกปาร์ตี้ทรงกรวยไม่มีฐานปิด จึงใช้กระดาษเท่ากับพื้นที่ข้างเท่านั้น คือ πrl ไม่ต้องบวก πr² เมื่ออ่านโจทย์พื้นที่ผิวให้ดูก่อนเสมอว่าต้องนับฐานหรือไม่ กรวยทึบที่ปิดฐานต้องนับฐานด้วย แต่วัตถุที่เปิดปากกรวยไม่ต้องนับ

ตัวอย่าง

หมวกกรวยรัศมีฐาน 10 ซม. สูง 24 ซม. ได้ l = √(10² + 24²) = √676 = 26 ซม. ใช้กระดาษ = 3.14 × 10 × 26 = 816.4 ตร.ซม.

หมวกกรวยเปิดฐานรัศมี 10 สูง 24 เส้นสร้าง 26 เซนติเมตร ใช้กระดาษ 816.4 ตารางเซนติเมตร — หมวกไม่มีวงกลมปิดฐาน ใช้กระดาษ πrl = 3.14 × 10 × 26 = 816.4 ตร.ซม. โดยไม่บวกพื้นที่ฐาน

ที่มาของสูตรปริมาตร: ทำไมต้องคูณ $\frac{1}{3}$

นำกรวยกับทรงกระบอกที่มีฐานเท่ากันและสูงเท่ากันมาเทียบกัน ทรงกระบอกมีปริมาตร πr²h ถ้าตักน้ำเต็มกรวยเทลงในทรงกระบอก จะเทได้ 3 ครั้งพอดีจึงเต็ม ปริมาตรกรวยจึงเป็น $\frac{1}{3}$ ของทรงกระบอก คือ $\frac{1}{3}$ πr²h แนวคิดนี้เหมือนพีระมิดที่มีปริมาตรเป็น $\frac{1}{3}$ ของปริซึมที่ฐานเดียวกันและสูงเท่ากัน สูตรเขียนได้อีกแบบว่า ปริมาตรกรวย = $\frac{1}{3}$ × พื้นที่ฐาน × ความสูง

ตัวอย่าง

กรวยรัศมีฐาน 3 ม. สูง 4 ม. ทรงกระบอกฐานเดียวกันสูงเท่ากันมีปริมาตร 3.14 × 3² × 4 = 113.04 ลบ.ม. กรวยมีปริมาตร $\frac{1}{3}$ × 113.04 = 37.68 ลบ.ม.

กรวยและทรงกระบอกมีรัศมี 3 สูง 4 เมตรเท่ากัน ปริมาตรกรวย 37.68 เทียบทรงกระบอก 113.04 ลูกบาศก์เมตร — ฐานและความสูงเท่ากัน: กรวยจุน้ำ 37.68 ลบ.ม. เทสามครั้งจึงเต็มทรงกระบอก 113.04 ลบ.ม. ตัวอย่างนี้ใช้ π = 3.14

เทียบกับสิ่งรอบตัว: กองทรายหนึ่งกอง

ทรายที่เทลงมาจากรถบรรทุกจะกองเป็นรูปกรวย จึงใช้สูตรปริมาตรประมาณปริมาณทรายได้โดยไม่ต้องตักตวง ผลที่ได้เป็นค่าประมาณ เพราะกองทรายจริงไม่เรียบเท่ากรวยในอุดมคติ

ตัวอย่าง

กองทรายรัศมีฐาน 3 ม. สูง 2 ม. มีปริมาตร $\frac{1}{3}$ × 3.14 × 3² × 2 = 18.84 ลบ.ม. ถ้ารถบรรทุกขนทรายได้เที่ยวละ 4 ลบ.ม. จะได้ 18.84 ÷ 4 = 4.71 จึงต้องขน 5 เที่ยว

กองทรายรูปกรวยรัศมี 3 สูง 2 เมตร ปริมาตรประมาณ 18.84 ลูกบาศก์เมตร รถขนเที่ยวละ 4 ต้องขน 5 เที่ยว — ประมาณกองทรายเป็นกรวย ได้ 18.84 ลบ.ม. หารความจุรถ 4 ลบ.ม. ได้ 4.71 จึงปัดขึ้นเป็น 5 เที่ยวเพื่อขนครบ

ย้อนกลับ: รู้ปริมาตรแล้วหาความสูง

สูตรใช้ย้อนกลับได้ ถ้ารู้ปริมาตรและรัศมี ให้แก้สมการ V = $\frac{1}{3}$ πr²h หา h จะได้ h = 3V ÷ (πr²) ระวังอย่าลืมคูณปริมาตรด้วย 3 ก่อนหาร

ตัวอย่าง

กรวยรัศมีฐาน 3 ม. มีปริมาตร 37.68 ลบ.ม. ได้ h = (3 × 37.68) ÷ (3.14 × 3²) = 113.04 ÷ 28.26 = 4 ม. ตรวจย้อนกลับ $\frac{1}{3}$ × 3.14 × 3² × 4 = 37.68 ลบ.ม. ตรงกับโจทย์

กรวยรัศมี 3 เมตร ปริมาตร 37.68 ลูกบาศก์เมตร มีความสูง 4 เมตรจากการแก้สูตรปริมาตร — คูณ V ด้วย 3 ก่อนหารด้วย πr²: h = 113.04 ÷ 28.26 = 4 ม. แล้วแทนกลับเพื่อตรวจปริมาตรเดิม

ใช้ห้องทดลองด้านล่าง

ห้องทดลองมีสามโหมด โหมดพื้นที่ผิวให้ติ๊ก “แสดงพื้นที่ผิว” เพื่อดูกรวยคลี่เป็นวงกลมกับภาคตัดวงกลม โหมดปริมาตรให้ติ๊ก “แสดงปริมาตร” เพื่อดูกรวยถูกเติมจากฐานขึ้นไป ปรับแถบรัศมีและความสูงได้ตลอดเวลาแล้วดูตัวเลขเปลี่ยนตามทันที ถ้าโจทย์ให้ความสูงเอียง l มาแทน ก็ปรับแถบ l ได้ เพราะ h กับ l สัมพันธ์กันด้วย l² = r² + h² ปรับตัวหนึ่งแล้วอีกตัวเปลี่ยนตามเอง โหมดฝึกทำโจทย์มี 6 ข้อที่สุ่มใหม่ทุกชุด กดปุ่มเต็มจอมุมบนขวาของห้องทดลองเพื่อขยายให้ใหญ่ขึ้นได้ และกด Esc เพื่อออก

ตัวอย่าง

ลองทายก่อนแล้วจึงปรับค่า เริ่มที่ r = 2 และ h = 3 ปริมาตรคือ 12.56 ลบ.ม. ถ้าเพิ่ม h เป็น 6 โดยคง r เดิม ปริมาตรเป็น 25.12 ลบ.ม. คือ 2 เท่า แต่ถ้าเพิ่ม r เป็น 4 โดยคง h = 3 ปริมาตรเป็น 50.24 ลบ.ม. คือ 4 เท่า เพราะ r ถูกยกกำลังสอง ลองดูว่าพื้นที่ฐานเปลี่ยนกี่เท่าเมื่อ r เพิ่มเป็น 2 เท่า