พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอก
ที่มาของสูตรพื้นที่ผิว 2πr² + 2πrh จากรูปคลี่ และปริมาตร πr²h จากการซ้อนชั้นวงกลม พร้อมตัวอย่างถังน้ำ กระป๋อง และการเทียบกับกรวยและทรงกลม แล้วทดลองในห้องทดลอง 3 มิติ และฝึกกับเครื่องมือเสริม 4 แบบ ได้แก่ ขยาย r กับ h, โจทย์ย้อนกลับ, โจทย์ประยุกต์ และเปรียบเทียบสามทรง
รู้จักส่วนต่าง ๆ ของทรงกระบอก
ทรงกระบอกคือรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นวงกลมสองวงเท่ากันและขนานกัน มีผิวข้างโค้งต่อระหว่างฐานทั้งสอง บทนี้ใช้ทรงกระบอกตรง คือทรงกระบอกที่ตั้งตรงพอดี มีค่าสำคัญสองค่า รัศมีฐาน r วัดจากจุดศูนย์กลางฐานถึงขอบวงกลม และความสูง h วัดตั้งฉากจากฐานล่างถึงฐานบน ถ้าโจทย์ให้เส้นผ่านศูนย์กลาง d ต้องหารสองก่อนจึงได้ r
ทรงกระบอกที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางฐาน 10 ม. สูง 7 ม. มีรัศมีฐาน r = 10 ÷ 2 = 5 ม. และ h = 7 ม. ตัวอย่างหลายข้อต่อไปนี้ใช้ r = 5 และ h = 7 ต่อเนื่องกัน
พื้นที่ผิว: คลี่ทรงกระบอกออกมาดู
ถ้าตัดผิวข้างของทรงกระบอกตามแนวตั้งแล้วคลี่ออก จะได้สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ด้านหนึ่งยาวเท่าเส้นรอบวงฐาน 2πr และอีกด้านยาวเท่าความสูง h จึงได้พื้นที่ผิวข้าง 2πrh ส่วนฐานบนและฐานล่างเป็นวงกลมสองวง วงละ πr² รวมเป็น 2πr² ดังนั้นพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกคือ 2πr² + 2πrh
r = 5 ม. h = 7 ม. ใช้ π = 3.14 ฐานสองวงรวม 2 × 3.14 × 5² = 157 ตร.ม. ผิวข้าง 2 × 3.14 × 5 × 7 = 219.8 ตร.ม. พื้นที่ผิวทั้งหมด 157 + 219.8 = 376.8 ตร.ม.
ปริมาตร: ซ้อนวงกลมขึ้นไปทีละชั้น
ลองนึกถึงแผ่นวงกลมบางมากที่มีพื้นที่ πr² ซ้อนกันขึ้นไปจนสูง h ปริมาตรจึงเท่ากับพื้นที่ฐานคูณความสูง คือ V = πr²h สูตรนี้ใช้กับปริซึมทุกชนิดได้เหมือนกัน คือปริมาตร = พื้นที่ฐาน × ความสูง จำไว้ว่าพื้นที่ผิวมีหน่วยเป็นตารางหน่วย ส่วนปริมาตรมีหน่วยเป็นลูกบาศก์หน่วย
r = 5 ม. h = 7 ม. พื้นที่ฐาน 3.14 × 5² = 78.5 ตร.ม. ปริมาตร 78.5 × 7 = 549.5 ลบ.ม. ข้อสังเกต เมื่อ r = 3 และ h = 6 พื้นที่ผิวกับปริมาตรได้ตัวเลขเท่ากันคือ 169.56 โดยบังเอิญ แต่หน่วยต่างกัน คือ ตร.ม. กับ ลบ.ม. จึงเทียบกันตรง ๆ ไม่ได้
ภาชนะเปิดฝา ไม่ต้องนับฐานครบสองวง
ก่อนใช้สูตรให้ถามตัวเองว่าต้องการพื้นผิวส่วนไหน ถังน้ำที่เปิดฝาด้านบนมีฐานเพียงวงเดียว พื้นที่ผิวจึงเป็น πr² + 2πrh ส่วนท่อกลวงหรือฉลากรอบกระป๋องใช้เฉพาะผิวข้าง 2πrh
ถังน้ำเปิดฝารัศมี 2 ม. สูง 5 ม. ฐานล่างวงเดียว 3.14 × 2² = 12.56 ตร.ม. ผิวข้าง 2 × 3.14 × 2 × 5 = 62.8 ตร.ม. ใช้วัสดุทำถัง 12.56 + 62.8 = 75.36 ตร.ม.
เทียบกับกรวยและทรงกลม
ถ้ากรวยมีฐานและความสูงเท่าทรงกระบอก เทน้ำจากกรวยลงทรงกระบอกต้องเท 3 ครั้งจึงเต็ม แปลว่าปริมาตรกรวยเป็น ของทรงกระบอก ส่วนทรงกลมรัศมี r ที่วางพอดีในทรงกระบอกสูง 2r มีปริมาตร ของทรงกระบอก ดังนั้นปริมาตรกรวย : ทรงกลม : ทรงกระบอก เป็น 1 : 2 : 3
r = 3 ซม. h = 6 ซม. ทรงกระบอก 3.14 × 3² × 6 = 169.56 ลบ.ซม. กรวยเป็น ได้ 56.52 ลบ.ซม. และทรงกลมรัศมี 3 ได้ × 3.14 × 3³ = 113.04 ลบ.ซม. ซึ่งเท่ากับ ของ 169.56 พอดี ลองเทน้ำเทียบเองได้ในเครื่องมือเสริมแท็บ “กระบอก · กรวย · กลม”
ถังน้ำ: เปลี่ยนหน่วยก่อนตอบเป็นลิตร
โจทย์ถังน้ำมักให้ขนาดเป็นเซนติเมตรแต่ถามความจุเป็นลิตร ให้คำนวณปริมาตรเป็นลูกบาศก์เซนติเมตรก่อน แล้วเปลี่ยนหน่วยโดยใช้ 1 ลิตร = 1,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร จากนั้นถ้ารู้อัตราน้ำไหลเข้า ก็หาเวลาที่เติมเต็มได้จากปริมาณน้ำหารอัตรา
ถังรัศมี 40 ซม. สูง 80 ซม. V = 3.14 × 40² × 80 = 401,920 ลบ.ซม. = 401.92 ลิตร ถ้าน้ำไหลเข้า 10 ลิตรต่อนาที ใช้เวลา 401.92 ÷ 10 ≈ 40.19 นาที หรือประมาณ 40 นาที
กระป๋องและฉลาก
ฉลากที่พันรอบกระป๋องเมื่อคลี่ออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านยาวเท่าเส้นรอบวง 2πr บวกส่วนซ้อนกาวเล็กน้อย ด้านกว้างเท่าความสูง h พื้นที่ฉลากจึงใกล้เคียงกับพื้นที่ผิวข้าง ส่วนแผ่นโลหะที่ใช้ทำกระป๋องทั้งใบต้องรวมฝาบนและฐานล่างด้วย คือ 2πr² + 2πrh
กระป๋องรัศมี 3.5 ซม. สูง 10 ซม. เส้นรอบวง 2 × 3.14 × 3.5 = 21.98 ซม. ฉลากไม่เผื่อซ้อนกาวมีพื้นที่ 21.98 × 10 = 219.8 ตร.ซม. ถ้าเผื่อซ้อนกาว 1 ซม. ฉลากกว้าง 22.98 ซม. พื้นที่ 229.8 ตร.ซม.
ขยาย r หรือ h แล้วอะไรเปลี่ยนไปกี่เท่า
รัศมีถูกยกกำลังสองในสูตรปริมาตร ส่วนความสูงไม่ถูกยกกำลัง ดังนั้นเพิ่มรัศมี k เท่า ปริมาตรเพิ่ม k² เท่า เพิ่มความสูง k เท่า ปริมาตรเพิ่ม k เท่า และเพิ่มทั้งรัศมีและความสูง k เท่า ปริมาตรเพิ่ม k³ เท่า ส่วนพื้นที่ผิวเพิ่ม k² เท่าเฉพาะกรณีที่ขยายทั้งสองค่า
r = 2 ม. h = 3 ม. V = 3.14 × 2² × 3 = 37.68 ลบ.ม. เพิ่ม r เป็น 4 ได้ 150.72 ลบ.ม. (4 เท่า) เพิ่ม h เป็น 6 ได้ 75.36 ลบ.ม. (2 เท่า) เพิ่มทั้งสองได้ 301.44 ลบ.ม. (8 เท่า) ทดลองในเครื่องมือเสริมแท็บ “ขยาย r, h”
โจทย์ย้อนกลับ: รู้ปริมาตร แต่ต้องหา r หรือ h
เมื่อโจทย์ให้ปริมาตรหรือพื้นที่ผิวมา และถามความยาวด้านใดด้านหนึ่ง ให้จัดสูตรใหม่ก่อนแทนค่า จาก V = πr²h ได้ h = V ÷ (πr²) และ r² = V ÷ (πh) แล้วถอดรากที่สอง ส่วนโจทย์พื้นที่ผิวรวมให้ลบพื้นที่ฐานสองวงออกก่อน แล้วจึงหาร 2πr เพื่อหา h
ถังจุน้ำ 150.72 ลบ.ม. รัศมีฐาน 4 ม. πr² = 3.14 × 16 = 50.24 ได้ h = 150.72 ÷ 50.24 = 3 ม. ตรวจกลับ 50.24 × 3 = 150.72 ถูกต้อง
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
ข้อผิดพลาดแรกคือใช้เส้นผ่านศูนย์กลางแทนรัศมี ทำให้คำตอบปริมาตรเพี้ยนไป 4 เท่า ข้อสองคือลืมนับฐานสองวงเมื่อถามพื้นที่ผิวทั้งหมด ข้อสามคือหน่วยไม่ตรงกัน เช่น r เป็นเมตรแต่ h เป็นเซนติเมตร ต้องแปลงให้เป็นหน่วยเดียวกันก่อน และข้อสุดท้ายคือเลือกค่า π ไม่ตรงกับที่โจทย์กำหนด
ทรงกระบอกเส้นผ่านศูนย์กลาง 10 ซม. สูง 8 ซม. ถูก: r = 5 ได้ 3.14 × 25 × 8 = 628 ลบ.ซม. ผิด: ใช้ 10 เป็น r ได้ 3.14 × 100 × 8 = 2,512 ซึ่งมากเกินจริง 4 เท่า
ใช้ห้องทดลองและเครื่องมือเสริมด้านล่าง
ห้องทดลองแรกเป็นแบบ 3 มิติ มีสามโหมด โหมดพื้นที่ผิวให้ติ๊ก “แสดงพื้นที่ผิว” เพื่อดูทรงกระบอกคลี่ออก โหมดปริมาตรให้ติ๊ก “แสดงปริมาตร” เพื่อดูน้ำเติมขึ้นเป็นชั้น ๆ และโหมดฝึกคิดมีโจทย์สุ่ม ถัดลงไปคือเครื่องมือเสริมสี่แท็บ คือ ขยาย r, h สำหรับทายอัตราส่วน โจทย์ย้อนกลับ โจทย์ประยุกต์ เรื่องถังน้ำ กระป๋อง และทาสีเสา และกระบอก · กรวย · กลม สำหรับเทน้ำเทียบปริมาตร
ลองทายก่อนแล้วจึงกดตรวจ เช่น ถ้าเพิ่ม r จาก 2 เป็น 4 โดยคง h = 3 ปริมาตรจะเป็นกี่เท่า คำตอบคือ 4 เท่า เพราะ r ถูกยกกำลังสอง
ห้องทดลองทรงกระบอก
พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอกลากที่ทรงกระบอกเพื่อหมุนดู
ติ๊ก “แสดงพื้นที่ผิว” เพื่อดูการคำนวณ
เครื่องมือเสริมความเข้าใจ
ทรงกระบอก · ใช้ π = 3.14ลองทายก่อนว่าถ้าเพิ่ม r หรือ h ปริมาตรกับพื้นที่ผิวจะเป็นกี่เท่า แล้วกด “เฉลย”
เดิม
r = 2 · h = 3 ม.
- พื้นที่ผิว
- ? ตร.ม.
- ปริมาตร
- ? ลบ.ม.
- ผิว เทียบเดิม
- × ?
- ปริมาตร เทียบเดิม
- × ?
r เพิ่ม 2 เท่า
r = 4 · h = 3 ม.
- พื้นที่ผิว
- ? ตร.ม.
- ปริมาตร
- ? ลบ.ม.
- ผิว เทียบเดิม
- × ?
- ปริมาตร เทียบเดิม
- × ?
h เพิ่ม 2 เท่า
r = 2 · h = 6 ม.
- พื้นที่ผิว
- ? ตร.ม.
- ปริมาตร
- ? ลบ.ม.
- ผิว เทียบเดิม
- × ?
- ปริมาตร เทียบเดิม
- × ?
r และ h เพิ่ม 2 เท่า
r = 4 · h = 6 ม.
- พื้นที่ผิว
- ? ตร.ม.
- ปริมาตร
- ? ลบ.ม.
- ผิว เทียบเดิม
- × ?
- ปริมาตร เทียบเดิม
- × ?
เช็กความเข้าใจ
บทเรียนอื่นในหมวดเรขาคณิต
การสร้างทางเรขาคณิต
ฝึกใช้ไม้บรรทัด สันตรง วงเวียน และโพรแทรกเตอร์ แล้วสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิต 6 ข้อ คือ สร้างส่วนของเส้นตรงให้ยาวเท่ากับที่กำหนด แบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง สร้างมุมให้เท่ากับมุมที่กำหนด แบ่งครึ่งมุม และสร้างเส้นตั้งฉาก 2 แบบ ต่อยอดไปสร้างมุม 60°, 45°, 30° สามเหลี่ยมด้านเท่า และเส้นขนาน พร้อมห้องทดลองที่ตรวจทุกขั้นตอน และกระดานอิสระสำหรับครูออกแบบโจทย์ ซ่อนเครื่องมือ และบันทึกภาพไปทำข้อสอบ
เริ่มเรียน
การหมุน การสะท้อน และการเลื่อนขนาน
ทดลองการแปลงทางเรขาคณิต 3 แบบบนระนาบพิกัด คือ การหมุน การสะท้อน และการเลื่อนขนาน แล้วนำมาต่อกันได้ 2 ครั้ง ดูภาพและพิกัดที่เปลี่ยนไปได้ทันที
เริ่มเรียน
การเลื่อนขนาน
การเลื่อนรูปไปตามทิศทางและระยะทางที่กำหนดด้วยรังสี PQ สมบัติของการเลื่อนขนาน การสร้างภาพด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน การเลื่อนขนานบนระนาบพิกัด (x, y) → (x + a, y + b) และการหาเวกเตอร์การเลื่อนจากจุดเดิมกับจุดภาพ พร้อมห้องทดลองสร้างภาพทีละขั้นและโหมดสำรวจ
เริ่มเรียน