ม.ต้น · 30 นาที

พื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม

โดย ทีมงาน Math Zom · เผยแพร่ 9 ตุลาคม 2569 · อัปเดตล่าสุด 17 ตุลาคม 2569

ที่มาของสูตรพื้นที่ผิว 2B + Ph จากการคลี่แผ่นคลี่ และปริมาตร Bh จากการซ้อนชั้น ใช้ได้กับปริซึมฐานสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และ n เหลี่ยมด้านเท่า พร้อมตัวอย่างหลังคาจั่ว กล่องของขวัญ และสระน้ำ แล้วทดลองคลี่ปริซึม เติมน้ำ และฝึกโจทย์ 6 ข้อในห้องทดลองสามมิติ

ปกด้านในบทปริซึม มีครูผู้หญิงยืนอยู่ข้างปริซึมสามเหลี่ยมสีเขียวเหลืองและปริซึมสี่เหลี่ยมสีฟ้า พร้อมชื่อบทพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม

รู้จักปริซึมและส่วนประกอบ

ปริซึมคือรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานสองหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการและอยู่บนระนาบที่ขนานกัน ส่วนหน้าข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่เชื่อมฐานทั้งสองเข้าด้วยกัน บทนี้ใช้ปริซึมตรง คือปริซึมที่หน้าข้างทุกหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากและตั้งฉากกับฐาน ความสูง h จึงเท่ากับความยาวของขอบข้าง ชื่อของปริซึมตั้งตามรูปฐาน เช่น ปริซึมสามเหลี่ยม ปริซึมสี่เหลี่ยม และปริซึมหกเหลี่ยม ปริซึมฐาน k เหลี่ยมมี k + 2 หน้า 3k ขอบ และ 2k จุดยอด

ตัวอย่าง

ปริซึมสามเหลี่ยมมี 5 หน้า 9 ขอบ 6 จุดยอด ปริซึมหกเหลี่ยมมี 8 หน้า 18 ขอบ 12 จุดยอด ตรวจด้วยสูตรของออยเลอร์ จุดยอด − ขอบ + หน้า = 12 − 18 + 8 = 2 ซึ่งเป็นจริงกับทรงตันแบบนี้ทุกชนิด

ปริซึมสามเหลี่ยมและฐานหกเหลี่ยม พร้อมจำนวนหน้า ขอบ และจุดยอด — ปริซึมสามเหลี่ยมมี 5 หน้า 9 ขอบ 6 จุดยอด ส่วนฐานหกเหลี่ยมให้ปริซึมมี 8 หน้า 18 ขอบ 12 จุดยอด

ปริซึมรอบตัวเรา

กล่องนมและกล่องพัสดุเป็นปริซึมสี่เหลี่ยม หลังคาจั่วที่มองจากด้านหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมคือปริซึมสามเหลี่ยมที่นอนข้าง ดินสอไม้ทรงหกเหลี่ยมเป็นปริซึมหกเหลี่ยม สังเกตว่าฐานของปริซึมไม่จำเป็นต้องอยู่ด้านล่างเสมอ ฐานคือสองหน้าที่เท่ากันและขนานกัน หลังคาจั่วจึงมีฐานเป็นสามเหลี่ยมด้านหน้าและด้านหลัง คำถามที่พบบ่อยมีสองแบบ แบบแรกถามว่าต้องใช้วัสดุหุ้มหรือทาเท่าไร เช่น กระดาษห่อของขวัญ สีทาผนัง หรือกระเบื้องมุงหลังคา คือพื้นที่ผิว แบบที่สองถามว่าจุได้เท่าไร เช่น ถังน้ำหรือห้องเก็บของ คือปริมาตร

ตัวอย่าง

พื้นที่ผิวมีหน่วยเป็นตารางหน่วย เช่น ตร.ม. ส่วนปริมาตรมีหน่วยเป็นลูกบาศก์หน่วย เช่น ลบ.ม. และ 1 ลบ.ม. เท่ากับ 1,000 ลิตร

กล่องปริซึมแสดงพื้นที่ผิวด้านนอกและความจุภายในเป็นคนละปริมาณ — พื้นที่ผิววัดวัสดุที่หุ้มรอบกล่อง ส่วนปริมาตรวัดความจุภายใน 1 ลบ.ม. เท่ากับ 1,000 ลิตร

หลักการ: พื้นที่ฐาน เส้นรอบฐาน และความสูง

สูตรของปริซึมทุกแบบใช้ข้อมูลเพียงสามอย่างจากฐานและความสูง ได้แก่ พื้นที่ฐาน B เส้นรอบฐาน P และความสูง h พื้นที่ผิวคือผลรวมพื้นที่ของทุกหน้า จึงเท่ากับพื้นที่ฐานสองรูปรวมกับพื้นที่ผิวข้าง ส่วนปริมาตรคือที่ว่างภายในที่วัดเป็นจำนวนลูกบาศก์หน่วย หลักการที่ใช้ร่วมกันทุกฐานคือ พื้นที่ผิว = 2B + P × h และปริมาตร = B × h เมื่อเจอปริซึมชนิดใหม่ ให้หา B และ P ของรูปฐานก่อน แล้วค่อยแทนในสองสูตรนี้ สูตรเฉพาะแต่ละฐานที่เห็นในหนังสือล้วนมาจากสองสูตรนี้

ตัวอย่าง

ฐานสี่เหลี่ยมกว้าง 3 ม. ยาว 4 ม. ได้ B = 3 × 4 = 12 ตร.ม. และ P = 2 × (3 + 4) = 14 ม. ถ้าปริซึมสูง 5 ม. จะได้ พื้นที่ผิว = 2 × 12 + 14 × 5 = 94 ตร.ม. และปริมาตร = 12 × 5 = 60 ลบ.ม.

กล่องกว้าง 3 ยาว 4 และสูง 5 เมตร พื้นที่ฐาน 12 เส้นรอบฐาน 14 พื้นที่ผิว 94 และปริมาตร 60 — หาพื้นที่ฐาน B และเส้นรอบฐาน P ก่อน แล้วใช้ 2B + Ph และ Bh

ที่มาของสูตรพื้นที่ผิว: ตัดและคลี่ปริซึม

ตัดปริซึมตามขอบข้างบางเส้นแล้วคลี่ออก จะได้แผ่นคลี่ที่มีรูปฐานสองรูปกับหน้าข้างที่เป็นสี่เหลี่ยมมุมฉากเรียงต่อกัน หน้าข้างทั้งหมดต่อกันเป็นแถบสี่เหลี่ยมผืนผ้าแถบเดียว ด้านยาวของแถบเท่ากับผลบวกความยาวขอบของฐานทุกด้าน คือเส้นรอบฐาน P ส่วนด้านกว้างเท่ากับความสูง h พื้นที่ผิวข้าง = P × h และพื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐานสองรูป + พื้นที่ผิวข้าง = 2B + P × h ในห้องทดลองด้านล่าง ติ๊ก “คลี่เป็นแผ่นคลี่” เพื่อดูภาพนี้ได้เอง

ตัวอย่าง

ปริซึมฐานสามเหลี่ยมมุมฉากด้านประกอบมุมฉาก 3 ม. และ 4 ม. สูง 6 ม. ได้ c = √(3² + 4²) = 5 ม. B = $\frac{1}{2}$ × 3 × 4 = 6 ตร.ม. P = 3 + 4 + 5 = 12 ม. พื้นที่ผิว = 2 × 6 + 12 × 6 = 12 + 72 = 84 ตร.ม.

รูปคลี่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมสามรูปกว้าง 3 4 5 สูง 6 และสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปด้านประกอบ 3 4 — หน้าข้างรวม 72 ตร.ม. และฐานสองรูปอีก 12 ตร.ม. รวมพื้นที่ผิว 84 ตร.ม.

สูตรพื้นที่ผิวของปริซึมแต่ละแบบ

แทน B และ P ของแต่ละฐานลงใน 2B + P × h ฐานสามเหลี่ยมมุมฉากมี B = $\frac{1}{2}$ ab และ P = a + b + c ได้พื้นที่ผิว = ab + (a + b + c)h ฐานสี่เหลี่ยมมุมฉากมี B = ab และ P = 2(a + b) ได้พื้นที่ผิว = 2ab + 2(a + b)h = 2(ab + bh + ah) ฐานหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าแบ่งได้เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า 6 รูป แต่ละรูปมีพื้นที่ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ × a² จึงได้ B = $\frac{3√3}{2}$ × a² และ P = 6a พื้นที่ผิว = 3√3a² + 6ah ฐานรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าด้านละ a มี P = na และ B = (n × a²) ÷ (4 × tan(180° ÷ n)) จึงใช้ 2B + nah ได้เช่นเดียวกัน

ตัวอย่าง

ปริซึมหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ด้านละ 2 ม. สูง 5 ม. ใช้ √3 ≈ 1.732 ได้ B = $\frac{3√3}{2}$ × 2² = 6√3 ≈ 10.39 ตร.ม. P = 6 × 2 = 12 ม. พื้นที่ผิว ≈ 2 × 10.39 + 12 × 5 = 20.78 + 60 = 80.78 ตร.ม.

ฐานหกเหลี่ยมด้านละ 2 เมตรแบ่งเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า 6 รูป พร้อมคำนวณพื้นที่ผิวปริซึมสูง 5 เมตร — ฐานหกเหลี่ยมมีพื้นที่ 6√3 ≈ 10.39 ตร.ม. เส้นรอบฐาน 12 ม. พื้นที่ผิวประมาณ 80.78 ตร.ม.

ที่มาของสูตรปริมาตร: ซ้อนชั้นขึ้นไป

เริ่มจากกล่องสี่เหลี่ยมมุมฉากกว้าง b ยาว a สูง h ซึ่งบรรจุลูกบาศก์ 1 ลบ.หน่วยได้ชั้นละ a × b ก้อน มีทั้งหมด h ชั้น จึงมีปริมาตร a × b × h = พื้นที่ฐาน × สูง ปริซึมฐานรูปอื่นใช้แนวคิดเดียวกัน ตัดปริซึมด้วยระนาบที่ขนานกับฐานที่ความสูงใดก็ได้ จะได้หน้าตัดที่เท่ากับรูปฐานทุกประการ จึงมีพื้นที่ B เท่ากันทุกชั้น เมื่อซ้อนกัน h ชั้นจึงได้ปริมาตร = B × h ปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากเห็นได้ง่ายอีกแบบ เพราะปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากสองก้อนที่เท่ากันต่อกันเป็นกล่องสี่เหลี่ยมมุมฉากพอดี ปริมาตรของแต่ละก้อนจึงเป็นครึ่งหนึ่งของ abh คือ $\frac{1}{2}$ abh ในห้องทดลอง ติ๊ก “เติมน้ำให้เต็ม” แล้วสังเกตน้ำที่เพิ่มขึ้นทีละชั้น

ตัวอย่าง

ปริซึมฐานสามเหลี่ยมมุมฉาก 3 ม. และ 4 ม. สูง 6 ม. มี B = 6 ตร.ม. ปริมาตร = 6 × 6 = 36 ลบ.ม. ตรวจด้วยกล่องกว้าง 3 ม. ยาว 4 ม. สูง 6 ม. ซึ่งมีปริมาตร 72 ลบ.ม. ครึ่งหนึ่งคือ 36 ลบ.ม. ตรงกัน

ปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากฐาน 3 4 สูง 6 เป็นครึ่งหนึ่งของกล่องขนาด 3 4 6 — กล่องมีปริมาตร 72 ลบ.ม. แบ่งเป็นปริซึมสามเหลี่ยมเท่ากันสองก้อนได้ก้อนละ 36 ลบ.ม.

สูตรปริมาตรของปริซึมแต่ละแบบ

ใช้ V = B × h แล้วแทน B ของแต่ละฐาน ฐานสามเหลี่ยมมุมฉาก V = $\frac{1}{2}$ abh ฐานสี่เหลี่ยมมุมฉาก V = abh ฐานหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า V = $\frac{3√3}{2}$ × a²h และฐาน n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า V = (n × a² × h) ÷ (4 × tan(180° ÷ n)) สังเกตว่าปริมาตรเพิ่มตามความสูงเป็นสัดส่วนตรง ถ้าความสูงเป็นสองเท่าและฐานเท่าเดิม ปริมาตรเป็นสองเท่า แต่ถ้าด้านของฐานทุกด้านเป็นสองเท่าโดยความสูงเท่าเดิม พื้นที่ฐานเพิ่มเป็นสี่เท่า ปริมาตรจึงเป็นสี่เท่า

ตัวอย่าง

ปริซึมหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ด้านละ 2 ม. สูง 5 ม. มี B ≈ 10.39 ตร.ม. ปริมาตร = 6√3 × 5 ≈ 51.96 ลบ.ม. (คำนวณจากค่า B ที่ยังไม่ปัดเศษ) ถ้าลดความสูงเหลือ 2.5 ม. ปริมาตรเหลือครึ่งหนึ่งคือ 25.98 ลบ.ม.

ปริซึมฐานหกเหลี่ยมพื้นที่เท่ากันสองอัน สูง 5 และ 2.5 เมตร ปริมาตร 51.96 และ 25.98 ลูกบาศก์เมตร — ใช้ B = 6√3 และคำนวณก่อนปัดเศษ ได้ 51.96 กับ 25.98 ลบ.ม. การปัด B เป็น 10.39 ก่อนคูณทำให้ค่าคลาดเคลื่อนเล็กน้อย

นำไปใช้: หลังคาจั่วและปริมาตรใต้หลังคา

ห้องใต้หลังคาทรงจั่วมีรูปตัดเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จึงเป็นปริซึมสามเหลี่ยมที่นอนข้าง ฐานคือสามเหลี่ยมหน้าจั่วด้านหน้ากับด้านหลัง ความสูงของปริซึมคือความยาวของตัวบ้าน ปริมาตรอากาศใต้หลังคาคำนวณจาก B × h ส่วนกระเบื้องมุงหลังคามุงที่หน้าข้างสองด้านที่เอียง จึงใช้พื้นที่ของหน้าข้างสองหน้านั้น ไม่ใช่พื้นที่ผิวทั้งหมด การเลือกว่าจะนับหน้าไหนเป็นทักษะสำคัญของการนำสูตรไปใช้

ตัวอย่าง

จั่วกว้าง 6 ม. สูง 4 ม. บ้านยาว 10 ม. ฐานสามเหลี่ยมหน้าจั่วมี B = $\frac{1}{2}$ × 6 × 4 = 12 ตร.ม. ปริมาตรใต้หลังคา = 12 × 10 = 120 ลบ.ม. ด้านเอียงแต่ละด้านยาว √(3² + 4²) = 5 ม. กระเบื้องมุงสองด้านเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า 5 × 10 สองแผ่น = 2 × 50 = 100 ตร.ม.

จั่วกว้าง 6 สูง 4 ด้านเอียง 5 และบ้านยาว 10 เมตร พื้นที่มุง 100 ตารางเมตร ปริมาตร 120 ลูกบาศก์เมตร — พื้นที่มุงหลังคานับเฉพาะสองหน้าเอียง 2 × 5 × 10 ส่วนความจุใต้หลังคาใช้พื้นที่จั่ว × ความยาวบ้าน

นำไปใช้: กล่องของขวัญและสระน้ำ

กล่องของขวัญที่ต้องห่อรอบด้านใช้กระดาษอย่างน้อยเท่าพื้นที่ผิวทั้งหมด 2B + P × h แต่ถังหรือสระน้ำที่เปิดด้านบนไม่มีฝา ต้องตัดฐานด้านบนออก จึงใช้ B + P × h เมื่อโจทย์ถามความจุน้ำให้ใช้ปริมาตร แล้วแปลงหน่วยโดย 1 ลบ.ม. = 1,000 ลิตร และ 1 ลบ.ซม. = 1 มิลลิลิตร อ่านโจทย์ให้ชัดเสมอว่าต้องการวัสดุหรือต้องการความจุ และต้องนับหน้าไหนบ้าง

ตัวอย่าง

กล่องของขวัญยาว 20 ซม. กว้าง 15 ซม. สูง 10 ซม. ใช้กระดาษห่ออย่างน้อย 2 × (20 × 15 + 15 × 10 + 20 × 10) = 2 × 650 = 1,300 ตร.ซม. กล่องจุ 20 × 15 × 10 = 3,000 ลบ.ซม. หรือ 3 ลิตร ส่วนสระสี่เหลี่ยมยาว 5 ม. กว้าง 4 ม. ลึก 1.5 ม. จุน้ำ 5 × 4 × 1.5 = 30 ลบ.ม. = 30,000 ลิตร ปูกระเบื้องพื้นและผนังสี่ด้าน = 20 + 2 × (5 + 4) × 1.5 = 20 + 27 = 47 ตร.ม.

กล่องขนาด 20 15 10 เซนติเมตรและสระขนาด 5 4 1.5 เมตร พร้อมพื้นที่และความจุ — กล่องห่อครบหกหน้า ส่วนสระปูกระเบื้องเฉพาะพื้นและผนังสี่ด้าน ไม่รวมด้านบน

นำไปใช้: ย้อนกลับหาความสูงและข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

เมื่อรู้ปริมาตรและพื้นที่ฐาน แก้สมการ V = B × h ได้ h = V ÷ B ถ้ารู้พื้นที่ผิวข้างและเส้นรอบฐาน ก็ได้ h = พื้นที่ผิวข้าง ÷ P เช่นกัน ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยมีสามอย่าง คือลืมคูณสองให้ฐานทั้งสองรูป ใช้ความสูงของสามเหลี่ยมฐานแทนความสูงของปริซึม และลืมใส่ $\frac{1}{2}$ เมื่อหาพื้นที่สามเหลี่ยมฐาน

ตัวอย่าง

ถังน้ำรูปปริซึมฐานสามเหลี่ยมมุมฉาก 3 ม. และ 4 ม. จุน้ำได้ 36 ลบ.ม. ได้ B = $\frac{1}{2}$ × 3 × 4 = 6 ตร.ม. h = 36 ÷ 6 = 6 ม. ตรวจย้อนกลับ 6 × 6 = 36 ลบ.ม. ตรงกับโจทย์

ปริซึมฐานสามเหลี่ยมมุมฉาก 3 4 เมตร มีปริมาตร 36 ลูกบาศก์เมตร ต้องการหาความสูง — พื้นที่ฐาน 6 ตร.ม. จึงได้ความสูง 36 ÷ 6 = 6 ม. ตรวจกลับได้ 6 × 6 = 36 ลบ.ม.

ใช้ห้องทดลองด้านล่าง

ห้องทดลองมีสามโหมด โหมดพื้นที่ผิวให้ติ๊ก “คลี่เป็นแผ่นคลี่” หรือเลื่อนแถบพับและคลี่ แล้วชี้ที่แต่ละบรรทัดของการคำนวณเพื่อดูว่าหน้าไหนคือค่านั้น โหมดปริมาตรให้ติ๊ก “เติมน้ำให้เต็ม” และ “แสดงชั้นหนา 1 ม.” เพื่อนับชั้น โหมดฝึกทำโจทย์มี 6 ข้อ ตอบผิดแล้วลองใหม่ได้อีก 1 ครั้ง ปุ่มเต็มจอที่มุมบนขวาช่วยให้ดูรูปได้ชัดบนมือถือและโปรเจกเตอร์

ตัวอย่าง

ลองทายก่อนแล้วจึงทดลอง เลือกฐานสี่เหลี่ยม a = 4, b = 3 และ h = 5 ทายว่าพื้นที่ผิวเป็นเท่าไร (เฉลย 94 ตร.ม.) แล้วเพิ่ม h เป็น 10 โดยไม่เปลี่ยนค่าอื่น ปริมาตรเพิ่มเป็นสองเท่า แต่พื้นที่ผิวไม่ได้เพิ่มเป็นสองเท่า เพราะฐานสองรูปไม่เปลี่ยน พื้นที่ผิวใหม่คือ 2 × 12 + 14 × 10 = 164 ตร.ม. ไม่ใช่ 188 ตร.ม.

กล่องฐาน 3 4 เมตรสูง 5 และ 10 เมตร ปริมาตร 60 120 แต่พื้นที่ผิว 94 164 — ฐานสองรูปยังมีพื้นที่รวม 24 ตร.ม. เท่าเดิม จึงทำให้พื้นที่ผิวเพิ่มจาก 94 เป็น 164 ไม่ใช่ 188 ตร.ม.

ห้องทดลองปริซึม

เลือกฐาน ปรับขนาด แล้วสังเกตการคำนวณ

ลากเพื่อหมุน · เลื่อนล้อเมาส์หรือบีบนิ้วเพื่อซูม · 1 ช่องกริด = 1 ม.

← กลับไปเลือกบทเรียน

รู้จักปริซึมและส่วนประกอบ

ปริซึมรอบตัวเรา

หลักการ: พื้นที่ฐาน เส้นรอบฐาน และความสูง

ที่มาของสูตรพื้นที่ผิว: ตัดและคลี่ปริซึม

สูตรพื้นที่ผิวของปริซึมแต่ละแบบ

ที่มาของสูตรปริมาตร: ซ้อนชั้นขึ้นไป

สูตรปริมาตรของปริซึมแต่ละแบบ

นำไปใช้: หลังคาจั่วและปริมาตรใต้หลังคา

นำไปใช้: กล่องของขวัญและสระน้ำ

นำไปใช้: ย้อนกลับหาความสูงและข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ใช้ห้องทดลองด้านล่าง

บทเรียนอื่นในหมวดเรขาคณิต

การสร้างทางเรขาคณิต

การหมุน การสะท้อน และการเลื่อนขนาน

การเลื่อนขนาน