ม.ปลาย · 35 นาที

ช่วงคำตอบของอสมการ

วาดอสมการ A และ B บนเส้นจำนวน แล้วหาช่วงคำตอบของ "และ" "หรือ" และ "ผลต่าง" เขียนคำตอบเป็นอสมการ ช่วง และเซต ลองแทนค่า x ด้วยจุดทดสอบ ฝึกโจทย์พร้อมตรวจคำตอบ และออกแบบโจทย์หรือชุดข้อสอบแล้วบันทึกภาพที่ไม่มีเครื่องมือบัง

ปกบทเรียนช่วงคำตอบของอสมการ ครูหญิงชี้นิ้วข้างเส้นจำนวนสี่เส้น แสดงช่วงจุดทึบสองปลาย ช่วงจุดโปร่งสองปลาย ส่วนรวม ∪ ของสองช่วงแยกกัน และส่วนร่วม ∩ ที่ระบายแถบซ้อนกัน

อสมการบนเส้นจำนวน

คำตอบของอสมการคือกลุ่มของจำนวนที่แทนค่า x แล้วเป็นจริง เมื่อวาดบนเส้นจำนวนจะเห็นเป็นเส้นหนาหรือแถบสี ปลายเส้นเป็นจุดทึบเมื่อรวมค่านั้น (≤ หรือ ≥) และเป็นจุดโปร่งเมื่อไม่รวม (< หรือ >) ลูกศรที่ปลายเส้นบอกว่าช่วงนั้นต่อไปไม่สิ้นสุด

ตัวอย่าง

x ≥ 4 วาดจุดทึบที่ 4 แล้วลากเส้นไปทางขวา ส่วน x < −1 วาดจุดโปร่งที่ −1 แล้วลากเส้นไปทางซ้าย และ −3 < x ≤ 2 เป็นช่วงที่มีสองปลาย จุดโปร่งที่ −3 และจุดทึบที่ 2

ตารางสามแถว x ≥ 4 เขียนเป็น [4, ∞) จุดทึบที่ 4 ลากไปทางขวา x < −1 เขียนเป็น (−∞, −1) จุดโปร่งที่ −1 ลากไปทางซ้าย และ −3 < x ≤ 2 เขียนเป็น (−3, 2] จุดโปร่งที่ −3 จุดทึบที่ 2 พร้อมคำอธิบายจุดทึบ จุดโปร่ง และลูกศร
x ≥ 4, x < −1 และ −3 < x ≤ 2 บนเส้นจำนวน พร้อมเขียนเป็นช่วง

และ (ส่วนร่วม)

เมื่ออสมการสองข้อเชื่อมด้วย "และ" ค่า x ต้องเป็นจริงทั้งสองข้อพร้อมกัน จึงตอบเฉพาะส่วนที่เส้นของ A และ B ซ้อนกัน เขียนแทนด้วย A ∩ B ถ้าไม่มีส่วนซ้อนกันเลย คำตอบคือไม่มีค่า x ที่เป็นไปได้

ตัวอย่าง

x ≤ 2 และ x ≥ −3 ส่วนที่ซ้อนกันคือ −3 ≤ x ≤ 2 แต่ x < −3 และ x > 1 ไม่มีส่วนซ้อนกัน จึงไม่มีคำตอบ

ส่วนร่วม A ∩ B ตัวอย่างที่ 1 A: x ≤ 2 และ B: x ≥ −3 ซ้อนกันได้ −3 ≤ x ≤ 2 หรือ [−3, 2] ตัวอย่างที่ 2 A: x < −3 และ B: x > 1 ไม่มีส่วนซ้อนกัน จึงไม่มีคำตอบ (∅)
x ≤ 2 และ x ≥ −3 ได้ −3 ≤ x ≤ 2 แต่ x < −3 และ x > 1 ไม่มีคำตอบ

หรือ (ส่วนรวม)

เมื่อเชื่อมด้วย "หรือ" ค่า x เป็นจริงข้อใดข้อหนึ่งก็พอ จึงรวมเส้นของ A และ B เข้าด้วยกัน เขียนแทนด้วย A ∪ B ผลที่ได้อาจเป็นช่วงเดียวที่ต่อกัน หรือเป็นสองช่วงที่แยกจากกัน ระวังจุดที่ปลายชนกัน ถ้ามีฝั่งใดฝั่งหนึ่งเป็นจุดทึบ ช่วงจะเชื่อมกันตรงนั้น

ตัวอย่าง

x < −2 หรือ x ≥ 4 ได้สองช่วงแยกกัน แต่ x ≤ 3 หรือ x > 3 รวมกันได้จำนวนจริงทุกตัว

ส่วนรวมด้วยคำว่าหรือ ตัวอย่างที่ 1 x < −2 หรือ x ≥ 4 ได้สองช่วง (−∞, −2) ∪ [4, ∞) ตัวอย่างที่ 2 A: x ≤ 3 และ B: x > 3 รวมกันได้จำนวนจริงทั้งหมด (−∞, ∞) เพราะจุด 3 ถูกรวมไว้ฝั่งหนึ่ง
x < −2 หรือ x ≥ 4 ได้สองช่วง ส่วน x ≤ 3 หรือ x > 3 ได้จำนวนจริงทุกตัว

ผลต่าง A − B

ผลต่าง A − B คือค่า x ที่อยู่ใน A แต่ไม่อยู่ใน B วิธีคิดคือวาด A แล้ว "ตัดส่วนของ B ออก" จุดปลายของ B จะกลับสถานะ ถ้า B รวมจุดนั้น (ทึบ) ผลต่างจะไม่รวมจุดนั้น (โปร่ง) และกลับกัน

ตัวอย่าง

A: x ≤ 2 และ B: x ≥ −3 ได้ A − B คือ x < −3 (จุดโปร่งที่ −3 เพราะ B รวม −3 อยู่แล้ว) ส่วน B − A คือ x > 2

ผลต่าง A − B เมื่อ A: x ≤ 2 และ B: x ≥ −3 ได้ A − B คือ x < −3 หรือ (−∞, −3) จุดโปร่งที่ −3 และ B − A คือ x > 2 หรือ (2, ∞) จุดโปร่งที่ 2 พร้อมข้อเตือนให้ตรวจจุดปลายที่ B รวมอยู่
A − B ได้ x < −3 จุดโปร่งที่ −3 เพราะ B รวม −3 อยู่แล้ว ส่วน B − A ได้ x > 2

เขียนคำตอบ 3 แบบ

คำตอบเดียวกันเขียนได้สามแบบ คือแบบอสมการ −3 ≤ x < 4 แบบช่วง [−3, 4) และแบบเซต {x | −3 ≤ x < 4} วงเล็บเหลี่ยม [ ] ใช้กับจุดทึบ วงเล็บกลม ( ) ใช้กับจุดโปร่งและอนันต์ ถ้ามีสองช่วงเชื่อมด้วยเครื่องหมาย ∪ ในห้องทดลองมีจุดทดสอบ x ให้ลองแทนค่าว่าอยู่ในคำตอบหรือไม่

ตัวอย่าง

x < −2 หรือ x ≥ 4 เขียนเป็นช่วงได้ (−∞, −2) ∪ [4, ∞) และเป็นเซตได้ {x | x < −2 หรือ x ≥ 4}

คำตอบเดียวกันเขียนได้ 3 แบบ −3 ≤ x < 4 เป็นช่วง [−3, 4) และเซต {x ∈ ℝ | −3 ≤ x < 4} พร้อมความหมายวงเล็บเหลี่ยมกับจุดทึบ วงเล็บกลมกับจุดโปร่ง และตัวอย่างเพิ่มเติม x < −2 หรือ x ≥ 4 เป็น (−∞, −2) ∪ [4, ∞)
x < −2 หรือ x ≥ 4 เขียนเป็นช่วง (−∞, −2) ∪ [4, ∞) และเป็นเซตได้

ฝึกโจทย์และออกแบบข้อสอบ

โหมดฝึกโจทย์มี 3 ระดับ ให้วาดคำตอบเองหรือพิมพ์เป็นช่วง ระบบบอกว่าผิดตรงจุดทึบ/โปร่ง ทิศ หรือค่าปลาย โหมดออกแบบโจทย์ให้ครูกำหนดอสมการ เลือกซ่อนหรือแสดงเส้นแต่ละแถว สร้างชุดโจทย์สุ่มพร้อมเฉลย แล้วกด "ซ่อนเครื่องมือ + บันทึกภาพ PNG" ได้ภาพที่มีเฉพาะเส้นจำนวน

ตัวอย่าง

ตั้ง A: −4 ≤ x < 2 และ B: 0 < x ≤ 6 เลือก "หรือ" ซ่อนเส้นคำตอบ ได้ข้อสอบให้นักเรียนหาคำตอบ −4 ≤ x ≤ 6

โหมดฝึกโจทย์และโหมดออกแบบโจทย์ พร้อมตัวอย่างหาส่วนรวม A ∪ B เมื่อ A: −4 ≤ x < 2 และ B: 0 < x ≤ 6 เฉลย −4 ≤ x ≤ 6 หรือ [−4, 6] และคำแนะนำให้ซ่อนแถวเฉลยก่อนบันทึกภาพ
A: −4 ≤ x < 2 หรือ B: 0 < x ≤ 6 ได้คำตอบ −4 ≤ x ≤ 6

ห้องทดลองช่วงคำตอบของอสมการ

เส้นจำนวน · และ / หรือ / ผลต่าง · ช่วงและเซต
Ax < 5−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1012345678910Bx > −2−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1012345678910คำตอบA ∩ B : −2 < x < 5−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1012345678910

ลากจุดปลายเพื่อเลื่อน · คลิกจุดเพื่อสลับทึบ/โปร่ง · ใช้ลูกศรบนคีย์บอร์ดได้

ลองคิดด้วยตัวเอง

เช็กความเข้าใจ

กำหนด A: x < 4 และ B: x ≥ −1 ช่วงคำตอบของ "A และ B" คือข้อใด
← กลับไปเลือกบทเรียน