การบวกและการลบพหุนาม
เรียนรู้การบวกและลบพหุนามด้วยบัตรพีชคณิตที่จัดเป็นคอลัมน์ตามพจน์คล้าย ดูบัตรเลื่อนจัดกลุ่มและตัดคู่ศูนย์ทีละขั้น พิมพ์พหุนามเองได้ถึงดีกรี 3 และตัวแปรหลายตัว เทียบวิธีเขียนแนวนอนกับแนวตั้ง ฝึกโจทย์สุ่มพร้อมตรวจคำตอบรายพจน์ และมีโหมดออกแบบโจทย์สำหรับครูที่บันทึกภาพบัตรและใบงานหลายข้อพร้อมเฉลยเป็น PNG เพื่อนำไปทำข้อสอบ
พจน์คล้ายคืออะไร
พหุนามคือผลบวกของพจน์หลายพจน์ เช่น 3x² − 2x + 5 แต่ละพจน์ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์และตัวแปรที่มีเลขชี้กำลัง พจน์ที่มีตัวแปรชนิดเดียวกันและเลขชี้กำลังของแต่ละตัวแปรเท่ากันเรียกว่า พจน์คล้าย เช่น 3x² กับ −5x² คล้ายกัน แต่ 3x² กับ 3x ไม่คล้ายกัน และ x²y กับ xy² ก็ไม่คล้ายกัน ในห้องทดลอง บัตรของพจน์คล้ายจะอยู่ในคอลัมน์เดียวกัน บัตร + อยู่เหนือเส้นกลาง บัตร − อยู่ใต้เส้นกลาง
ใน (2x² + 3xy − 4) และ (x² − 5xy + 7) คู่พจน์คล้ายคือ 2x² กับ x², 3xy กับ −5xy และ −4 กับ 7
การบวกพหุนาม: จัดกลุ่มพจน์คล้ายแล้วบวกสัมประสิทธิ์
การบวกพหุนามทำได้โดยจัดพจน์คล้ายไว้ด้วยกันแล้วบวกสัมประสิทธิ์ ตัวแปรและเลขชี้กำลังคงเดิม บนกระดานบัตร เมื่อกดขั้น “จัดกลุ่มพจน์คล้าย” บัตรของพหุนามทั้งสองจะเลื่อนมารวมกองในคอลัมน์เดียวกัน จากนั้นขั้น “ตัดคู่ศูนย์” บัตร + จับคู่กับบัตร − แล้วหายไป เพราะ +1 บวก −1 ได้ 0 บัตรที่เหลือคือคำตอบ
(3x² − 2x + 5) + (x² + 4x − 7) = (3 + 1)x² + (−2 + 4)x + (5 + (−7)) = 4x² + 2x − 2
การลบพหุนาม: บวกด้วยพหุนามตรงข้าม
การลบพหุนามคือการบวกด้วยพหุนามตรงข้าม พหุนามตรงข้ามได้จากการเปลี่ยนเครื่องหมายของทุกพจน์ในพหุนามตัวที่สอง ในโหมดลบ กระดานมีขั้น “พลิกเครื่องหมายของพหุนามที่สอง” เพิ่มขึ้นมา บัตรสีทองทุกใบจะข้ามเส้นกลางไปอีกฝั่ง ข้อที่นักเรียนพลาดบ่อยที่สุดคือเปลี่ยนเครื่องหมายเฉพาะพจน์แรกของพหุนามตัวที่สอง
(−x² + 5x + 8) − (−7x − 1) = (−x² + 5x + 8) + (7x + 1) = −x² + 12x + 9
เทียบวิธีเขียนแนวนอนกับแนวตั้ง
วิธีแนวนอนเขียนทุกขั้นต่อกันเป็นบรรทัด เหมาะกับการอธิบายเหตุผล วิธีแนวตั้งวางพจน์คล้ายไว้ในคอลัมน์เดียวกัน ช่องที่ไม่มีพจน์นั้นเว้นว่างหรือมองเป็น 0 แล้วบวกลงมาทีละคอลัมน์ ในโหมดสำรวจกดปุ่ม “เทียบกัน” เพื่อดูสองวิธีคู่กัน แถวแรกของวิธีแนวตั้งคือพหุนามที่ 1 แถวที่สองคือพหุนามที่ 2 (หรือพหุนามตรงข้ามเมื่อเป็นการลบ) และแถวล่างคือผลลัพธ์
บวก (2x³ − x² + 4x − 5) กับ (x³ + 3x² − 4x + 2) แนวตั้งได้ x³: 2 + 1 = 3, x²: −1 + 3 = 2, x: 4 + (−4) = 0, ค่าคงตัว: −5 + 2 = −3 ได้ 3x³ + 2x² − 3
พหุนามหลายตัวแปร
พจน์คล้ายต้องมีตัวแปรครบเหมือนกันทุกตัว x²y จึงไม่คล้ายกับ xy² แม้ดีกรีรวมเท่ากัน ห้องทดลองรับพหุนามที่มีตัวแปรได้ถึง 3 ตัว (ทั้งโจทย์รวมกัน) และดีกรีรวมของแต่ละพจน์ไม่เกิน 3 ใช้แป้นพิมพ์ช่วยแทรก x, y, เลขยกกำลัง และเครื่องหมายได้ในแท็บเล็ตหรือมือถือ
(3x² + 2xy − y²) + (x² − 4xy + 5y²) = 4x² − 2xy + 4y²
ฝึกโจทย์ ตรวจคำตอบรายพจน์
โหมดฝึกโจทย์สุ่มโจทย์ตามดีกรี จำนวนตัวแปร และขนาดสัมประสิทธิ์ที่เลือก พิมพ์คำตอบด้วยลำดับพจน์แบบใดก็ได้ ระบบจะเทียบตามความหมายของพหุนาม ถ้ายังไม่ถูกจะบอกว่าพจน์ใดยังผิดโดยไม่เฉลยค่า มีคำใบ้สองระดับ และกดดูเฉลยเพื่อเห็นบัตรและวิธีทำทุกขั้น
ตอบ 4 + 2x + 2x² สำหรับโจทย์ที่ได้ 2x² + 2x + 4 ถือว่าถูก เพราะสัมประสิทธิ์ของทุกพจน์เท่ากัน
ออกแบบโจทย์และบันทึกภาพไปทำข้อสอบ
ครูพิมพ์หรือสุ่มโจทย์ แล้วเลือกขั้นที่ต้องการแช่ภาพ เช่น ขั้น 1 ปิดแถวผลรวมเป็นภาพโจทย์ หรือขั้นสุดท้ายเป็นภาพเฉลย กด “ซ่อนเครื่องมือ + บันทึกภาพ” จะได้ PNG ที่มีเฉพาะกระดานบัตร (พื้นกระดาษขาวและสีคงที่ ไม่ขึ้นกับธีมมืด) แท็บ “ใบงานหลายข้อ” รวมโจทย์ได้สูงสุด 8 ข้อในหน้าเดียว ใส่เส้นตอบ ช่องชื่อ และเลือกแสดงเฉลยสำหรับครูได้
ตั้งโจทย์ (−x² + 5x + 8) − (−7x − 1) แล้วบันทึกภาพขั้น 1 เป็นรูปโจทย์ในข้อสอบ บันทึกขั้นสุดท้ายเป็นรูปเฉลยในเล่มเฉลย
ห้องทดลองการบวกและการลบพหุนาม
กระดานบัตรตามพจน์คล้าย · พิมพ์โจทย์เอง · ดีกรี 0–3 · ตัวแปรหลายตัวพจน์คล้าย คือพจน์ที่มีตัวแปรและเลขชี้กำลังเหมือนกัน เช่น 3x² กับ −5x² บวกกันได้ด้วยการบวกสัมประสิทธิ์ · บัตร + กับบัตร − ของพจน์เดียวกันจับคู่กันแล้วได้ 0 · การลบ คือการบวกด้วยพหุนามตรงข้าม (เปลี่ยนเครื่องหมายทุกพจน์)
แนวนอน เขียนต่อกันบรรทัดเดียว
- โจทย์(−x² + 5x + 8) − (−7x − 1)
แนวตั้ง จัดคอลัมน์ตามพจน์คล้าย
| x² | x | 1 | |
|---|---|---|---|
| พหุนามที่ 1 | −1 | 5 | 8 |
| + ตรงข้ามของพหุนามที่ 2 | 7 | 1 | |
| ผลลัพธ์ | −1 | 12 | 9 |
ตัวเลขในตารางคือสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่หัวคอลัมน์ ช่องว่างหมายถึงไม่มีพจน์นั้น (เท่ากับ 0)
เช็กความเข้าใจ
บทเรียนอื่นในหมวดจำนวนและพีชคณิต
การแก้อสมการ
ห้องทดลองการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว พิมพ์ค่า a b c d ได้ทั้งจำนวนเต็ม ทศนิยม และเศษส่วน ดูวิธีทำทีละขั้น แทนค่าตรวจบนเส้นจำนวน ฝึกโจทย์ สร้างชุดข้อสอบ และบันทึกภาพเส้นจำนวนไปทำข้อสอบ
เริ่มเรียน
เส้นตรงและความชัน
ห้องทดลองเส้นตรงและความชัน ลากหรือพิมพ์จุด A B (และ C D) บนระนาบพิกัด ดูสามเหลี่ยมความชัน มุมที่ทำกับแกน X จุดตัดแกน สมการเส้นตรง 4 รูปแบบ ตรวจจุด P และความสัมพันธ์ขนาน ตั้งฉากของสองเส้น พร้อมฝึกโจทย์ 8 แบบ สร้างชุดข้อสอบ และบันทึกภาพกระดานไปทำข้อสอบ
เริ่มเรียน
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร แก้ด้วยกราฟ
ทำความเข้าใจว่าคำตอบของระบบสมการคือจุดตัดของเส้นตรงสองเส้น แยกกรณีตัดกัน ขนานกัน และทับกัน ตรวจคำตอบด้วยการแทนค่า แล้วทดลองในห้องทดลองกราฟที่รองรับเศษส่วนและขยายเต็มจอได้
เริ่มเรียน