ภาคตัดกรวย (พาราโบลา)
ห้องทดลองพาราโบลา ปรับ p h k ได้ถึง −99 ถึง 99 ลากจุดยอดและโฟกัส ดูไดเรกตริกซ์ แกนสมมาตร เลตัสเรกตัม จุด P ที่ PF = PD เส้นสัมผัสและรังสีสะท้อน พร้อมฝึกโจทย์ ออกแบบภาพข้อสอบ และสุ่มชุดข้อสอบพร้อมเฉลย
พาราโบลาคือเซตของจุดที่ห่างจากโฟกัสและไดเรกตริกซ์เท่ากัน
พาราโบลาคือเซตของจุดทุกจุดบนระนาบที่มีระยะถึงจุดคงที่จุดหนึ่ง เรียกว่า โฟกัส เท่ากับระยะถึงเส้นตรงคงที่เส้นหนึ่ง เรียกว่า ไดเรกตริกซ์ (โฟกัสต้องไม่อยู่บนไดเรกตริกซ์) ในห้องทดลอง ลากจุด P ไปตามเส้นโค้งแล้วดู PF กับ PD ซึ่งเท่ากันเสมอ
โฟกัส F(3, 0) ไดเรกตริกซ์ x = −3 จุด P(3, 6) อยู่บนพาราโบลา y² = 12x เพราะ 6² = 12 × 3 โดย PF = 6 และ PD = |3 − (−3)| = 6
รูปมาตรฐานและค่า p, h, k
ถ้าแกนสมมาตรขนานแกน X สมการคือ (y − k)² = 4p(x − h) ถ้าขนานแกน Y สมการคือ (x − h)² = 4p(y − k) จุดยอดคือ (h, k) และ p คือระยะจากจุดยอดถึงโฟกัสแบบมีเครื่องหมาย p เป็นบวกเปิดไปทางด้านบวกของแกน p เป็นลบเปิดไปด้านลบ ห้องทดลองให้พิมพ์ p, h, k ได้ตั้งแต่ −99 ถึง 99 (p ต้องไม่เป็น 0)
(y − 2)² = 8(x + 1) เทียบกับ (y − k)² = 4p(x − h) ได้ h = −1, k = 2, 4p = 8 จึง p = 2 เปิดไปทางขวา
จุดยอด โฟกัส ไดเรกตริกซ์ และแกนสมมาตร
สำหรับ (y − k)² = 4p(x − h): จุดยอด (h, k) โฟกัส (h + p, k) ไดเรกตริกซ์ x = h − p แกนสมมาตร y = k สำหรับ (x − h)² = 4p(y − k): จุดยอด (h, k) โฟกัส (h, k + p) ไดเรกตริกซ์ y = k − p แกนสมมาตร x = h จุดยอดอยู่กึ่งกลางระหว่างโฟกัสกับไดเรกตริกซ์เสมอ
(y − 2)² = 8(x + 1) ได้จุดยอด (−1, 2) โฟกัส (−1 + 2, 2) = (1, 2) ไดเรกตริกซ์ x = −1 − 2 = −3 และแกนสมมาตร y = 2
เลตัสเรกตัม
เลตัสเรกตัมคือส่วนของเส้นตรงที่ผ่านโฟกัส ตั้งฉากกับแกนสมมาตร และมีปลายทั้งสองข้างอยู่บนพาราโบลา ความยาวเท่ากับ |4p| ปลายทั้งสองห่างจากโฟกัสข้างละ 2|p| เปิดตัวเลือก เลตัสเรกตัม ในแถบเครื่องมือเพื่อดูบนกราฟ
y² = 12x มี p = 3 โฟกัส (3, 0) เลตัสเรกตัมยาว |4p| = 12 ปลายอยู่ที่ (3, 6) และ (3, −6)
พาราโบลาที่เปิดขึ้นหรือลง
เมื่อแกนสมมาตรขนานแกน Y ใช้รูป (x − h)² = 4p(y − k) ถ้า p > 0 เปิดขึ้น ถ้า p < 0 เปิดลง ไดเรกตริกซ์เป็นเส้นแนวนอน y = k − p ปุ่ม “ทิศที่พาราโบลาเปิด” ในห้องทดลองสลับทั้งสี่ทิศได้ทันที
(x + 3)² = −12(y − 1) ได้ h = −3, k = 1, p = −3 เปิดลง จุดยอด (−3, 1) โฟกัส (−3, −2) ไดเรกตริกซ์ y = 4 เลตัสเรกตัมยาว 12
จากสมการรูปทั่วไปด้วยการทำกำลังสองสมบูรณ์
สมการ y² + Dx + Ey + F = 0 (หรือ x² + Dx + Ey + F = 0) ให้รวมพจน์ของตัวแปรที่เป็นกำลังสองไว้ข้างหนึ่ง เติมค่าให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ทั้งสองข้าง แล้วดึงตัวร่วมของอีกข้างให้ได้รูปมาตรฐาน เลือก “สมการรูปทั่วไป” ในห้องทดลองเพื่อกรอก D, E, F แล้วดูรูปมาตรฐานทันที
y² − 12x − 4y + 16 = 0 ได้ y² − 4y = 12x − 16 เติม 4 ได้ (y − 2)² = 12x − 12 = 12(x − 1) จึงจุดยอด (1, 2) p = 3 โฟกัส (4, 2) ไดเรกตริกซ์ x = −2
เส้นสัมผัส สมบัติสะท้อนแสง และการออกข้อสอบ
รังสีที่ออกจากโฟกัสไปกระทบพาราโบลาจะสะท้อนออกขนานกับแกนสมมาตร นี่คือเหตุผลที่จานสะท้อนและไฟหน้ารถใช้รูปพาราโบลา เปิดเส้นสัมผัสและรังสีสะท้อนในห้องทดลองเพื่อดู โหมดฝึกโจทย์มี 4 แบบพร้อมตรวจคำตอบ โหมดออกแบบโจทย์เลือกซ่อนองค์ประกอบหรือให้เป็นช่องว่างแล้วบันทึกภาพ PNG ที่ไม่มีแผงเครื่องมือ และโหมดชุดข้อสอบสุ่มโจทย์พร้อมเฉลยให้คัดลอกเป็นข้อความ
y² = 12x ที่จุด P(3, 6) เส้นสัมผัสคือ y = x + 3 ตัดแกน X ที่ (−3, 0) และรังสีจาก F(3, 0) ไปที่ P ซึ่งตั้งฉากกับแกน X จะสะท้อนไปทางขวาขนานแกน X
ห้องทดลองภาคตัดกรวย: พาราโบลา
จุดยอด · โฟกัส · ไดเรกตริกซ์ · เลตัสเรกตัม · เส้นสัมผัสลากจุด P ไปตามเส้นโค้ง · ลากจุดยอดหรือโฟกัสเพื่อเปลี่ยนรูป (กด Shift = ละเอียด) · ลากพื้นหลังเพื่อเลื่อน · ล้อเมาส์เพื่อซูม
เช็กความเข้าใจ
บทเรียนอื่นในหมวดเรขาคณิตวิเคราะห์
ระยะทางระหว่างจุดสองจุด
ลากจุด A และ B บนระนาบพิกัด แล้วดูสามเหลี่ยมมุมฉาก Δx Δy ที่มาของสูตรระยะทาง AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) พร้อมจุดกึ่งกลางและความชันของเส้นตรง ตั้งค่าช่วงของแกน พิกัดทศนิยม รูปแบบคำตอบ (√ หรือทศนิยม) และหน่วยของค่าจริงได้ มีโหมดฝึกโจทย์ 6 แบบ ตรวจคำตอบอัตโนมัติ และโหมดออกแบบโจทย์เพื่อบันทึกเป็นรูปภาพสำหรับข้อสอบ
เริ่มเรียน
พิกัดเชิงขั้ว
ลากจุด P และ Q บนระนาบเชิงขั้ว (r, θ) แล้วดูการแปลงเป็นพิกัดฉาก (x, y) ทีละขั้น สลับหน่วยองศา/เรเดียน ใส่ r ติดลบและมุมเกิน 360° ดูพิกัดที่เท่ากัน หาระยะ PQ จุดกึ่งกลาง และพื้นที่ △OPQ พร้อมกราฟเชิงขั้ว (วงกลม กุหลาบ คาร์ดิออยด์ ลิมาซอน เกลียว) มีโหมดฝึกโจทย์ 5 แบบ 3 ระดับ ออกแบบโจทย์เพื่อบันทึกภาพ และสร้างชุดข้อสอบพร้อมเฉลย
เริ่มเรียน
ระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรง
ลากจุด A และเส้นตรง l บนระนาบพิกัด แล้วดูระยะห่าง d เปลี่ยนไปพร้อมวิธีทำทีละขั้น เลือกใช้สูตรหรือหาจุดตั้งฉาก H ก่อนก็ได้ ดูค่าเป็นรูปราก เช่น 15/√5 = 3√5 ทดลองเส้นขนาน วงกลมสัมผัส และโจทย์หาค่า k ฝึกโจทย์สี่ประเภทที่ตรวจคำตอบให้ และมีโหมดออกแบบโจทย์กับชุดข้อสอบสำหรับครูที่บันทึกรูป PNG ไม่มีเครื่องมือบังเพื่อใช้ทำข้อสอบ
เริ่มเรียน