ม.ปลาย · 35 นาที

พิกัดเชิงขั้ว

โดย ทีมงาน Math Zom · เผยแพร่ 26 ตุลาคม 2569

ลากจุด P และ Q บนระนาบเชิงขั้ว (r, θ) แล้วดูการแปลงเป็นพิกัดฉาก (x, y) ทีละขั้น สลับหน่วยองศา/เรเดียน ใส่ r ติดลบและมุมเกิน 360° ดูพิกัดที่เท่ากัน หาระยะ PQ จุดกึ่งกลาง และพื้นที่ △OPQ พร้อมกราฟเชิงขั้ว (วงกลม กุหลาบ คาร์ดิออยด์ ลิมาซอน เกลียว) มีโหมดฝึกโจทย์ 5 แบบ 3 ระดับ ออกแบบโจทย์เพื่อบันทึกภาพ และสร้างชุดข้อสอบพร้อมเฉลย

ปกด้านในบทพิกัดเชิงขั้ว มีชื่อบทและระนาบเชิงขั้วที่มีลูกศรชี้ไปยังจุดสีชมพูพร้อมมุม θ โดยมีคุณครูถือวงเวียนยืนอยู่ทางขวาของภาพ

ระบบพิกัดเชิงขั้ว r และ θ

พิกัดเชิงขั้วระบุตำแหน่งของจุด P ด้วยคู่อันดับ (r, θ) โดย r คือระยะจากจุดกำเนิด O (เรียกว่าขั้ว) ถึง P และ θ คือมุมที่วัดจากแกน x ทางบวกทวนเข็มนาฬิกาไปยังรังสี OP มุมวัดเป็นองศาหรือเรเดียนก็ได้ โดย 180° เท่ากับ π เรเดียน

ตัวอย่าง

จุด P(4, 60°) อยู่ห่างจาก O 4 หน่วย บนรังสีที่ทำมุม 60° กับแกน x ทางบวก ส่วน 60° = $\frac{π}{3}$ เรเดียน

แปลงพิกัดเชิงขั้วเป็นพิกัดฉาก

ลากเส้นตั้งฉากจาก P ลงแกน x จะได้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว r จึงได้ x = r cos θ และ y = r sin θ ใช้ได้กับทุกควอดรันต์ แม้ r เป็นลบหรือ θ เกิน 360°

ตัวอย่าง

P(6, 45°) ได้ x = 6 cos 45° = 3 $\sqrt{2}$ ≈ 4.24 และ y = 6 sin 45° = 3 $\sqrt{2}$ ≈ 4.24 จึงเป็นจุด (4.24, 4.24)

แปลงพิกัดฉากเป็นพิกัดเชิงขั้ว

จาก (x, y) หา r = $\sqrt{x² + y²}$ แล้วหามุมอ้างอิง α = tan⁻¹( $\frac{|y|}{|x|}$ ) จากนั้นดูควอดรันต์ของจุดเพื่อกำหนด θ ควอดรันต์ที่ 1 θ = α ควอดรันต์ที่ 2 θ = 180° − α ควอดรันต์ที่ 3 θ = 180° + α และควอดรันต์ที่ 4 θ = 360° − α อย่าใช้ tan⁻¹( $\frac{y}{x}$ ) ตรง ๆ เพราะเครื่องคิดเลขให้มุมเฉพาะควอดรันต์ที่ 1 และ 4

ตัวอย่าง

จุด (−3, 4) ได้ r = $\sqrt{9 + 16}$ = 5 มุมอ้างอิง α = tan⁻¹( $\frac{4}{3}$ ) ≈ 53.13° จุดอยู่ควอดรันต์ที่ 2 จึงได้ θ = 180° − 53.13° = 126.87° ตอบ (5, 126.87°)

r ติดลบ มุมเกิน 360° และพิกัดที่เท่ากัน

จุดหนึ่งเขียนเป็นพิกัดเชิงขั้วได้หลายแบบ เพราะ (r, θ) กับ (r, θ + 360°n) เป็นจุดเดียวกัน และเมื่อ r ติดลบ จุดจะอยู่บนรังสีตรงข้าม ดังนั้น (−r, θ) คือจุดเดียวกับ (r, θ + 180°) เมื่อต้องการตอบแบบมาตรฐานให้ใช้ r > 0 และ 0° ≤ θ < 360° (หรือ 0 ≤ θ < 2π)

ตัวอย่าง

จุด (−4, 30°) เขียนเป็น (4, 30° + 180°) = (4, 210°) ได้ และเป็นจุดเดียวกับ (4, −150°) และ (−4, 390°)

ระยะระหว่างสองจุดและพื้นที่สามเหลี่ยม

ให้ P(r₁, θ₁) และ Q(r₂, θ₂) ใช้กฎของโคไซน์ในสามเหลี่ยม OPQ ได้ PQ = $\sqrt{r₁² + r₂² − 2r₁r₂ cos(θ₂ − θ₁)}$ และพื้นที่ △OPQ = $\frac{1}{2}$ r₁ r₂ |sin(θ₂ − θ₁)| จุดกึ่งกลางหาโดยแปลงทั้งสองจุดเป็นพิกัดฉากก่อนแล้วเฉลี่ยพิกัด

ตัวอย่าง

P(4, 30°) และ Q(6, 90°) มุมต่างกัน 60° ได้ PQ = $\sqrt{16 + 36 − 2·4·6· \frac{1}{2}}$ = $\sqrt{28}$ = 2 $\sqrt{7}$ ≈ 5.29 และพื้นที่ = $\frac{1}{2}$ ·4·6·sin 60° = 6 $\sqrt{3}$ ≈ 10.39 ตารางหน่วย

กราฟเชิงขั้วและการใช้ทำข้อสอบ

สมการ r = f(θ) แทนเส้นโค้งเมื่อให้ θ เปลี่ยนค่า เช่น r = a เป็นวงกลมรัศมี a รอบขั้ว r = a cos θ เป็นวงกลมที่ผ่านขั้ว r = a cos(nθ) เป็นกราฟกุหลาบ r = a(1 + cos θ) เป็นคาร์ดิออยด์ และ r = aθ เป็นเกลียว ห้องทดลองมีตัวติดตามจุดบนเส้นโค้ง มีโหมดฝึกโจทย์ 5 แบบ ตรวจคำตอบอัตโนมัติ โหมดออกแบบโจทย์เพื่อบันทึกภาพ PNG และโหมดชุดข้อสอบที่สุ่มจากเลขเมล็ดพร้อมเฉลย

ตัวอย่าง

r = 4 cos θ เมื่อ θ = 60° ได้ r = 2 จุดคือ (2, 60°) หรือ (1, $\sqrt{3}$ ) ในพิกัดฉาก และเส้นโค้งนี้คือวงกลมรัศมี 2 ที่ผ่านขั้ว

ลองคิดด้วยตัวเอง

เช็กความเข้าใจ

จุดที่มีพิกัดฉาก (−3, 4) เขียนเป็นพิกัดเชิงขั้วแบบมาตรฐาน (r > 0, 0° ≤ θ < 360°) ได้ตามข้อใด

(5, 126.87°)

(5, 53.13°)

(5, −53.13°)

(7, 126.87°)

← กลับไปเลือกบทเรียน

ระบบพิกัดเชิงขั้ว r และ θ

แปลงพิกัดเชิงขั้วเป็นพิกัดฉาก

แปลงพิกัดฉากเป็นพิกัดเชิงขั้ว

r ติดลบ มุมเกิน 360° และพิกัดที่เท่ากัน

ระยะระหว่างสองจุดและพื้นที่สามเหลี่ยม

กราฟเชิงขั้วและการใช้ทำข้อสอบ

เช็กความเข้าใจ

บทเรียนอื่นในหมวดเรขาคณิตวิเคราะห์

ระยะทางระหว่างจุดสองจุด

ระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรง

ภาคตัดกรวย (วงกลม)