m·math zom
เริ่มเรียน
ม.ปลาย · 30 นาที

ระยะทางระหว่างจุดสองจุด

โดย ทีมงาน Math Zom · เผยแพร่

ลากจุด A และ B บนระนาบพิกัด แล้วดูสามเหลี่ยมมุมฉาก Δx Δy ที่มาของสูตรระยะทาง AB = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² พร้อมจุดกึ่งกลางและความชันของเส้นตรง ตั้งค่าช่วงของแกน พิกัดทศนิยม รูปแบบคำตอบ (√ หรือทศนิยม) และหน่วยของค่าจริงได้ มีโหมดฝึกโจทย์ 6 แบบ ตรวจคำตอบอัตโนมัติ และโหมดออกแบบโจทย์เพื่อบันทึกเป็นรูปภาพสำหรับข้อสอบ

ปกด้านในบทระยะทางระหว่างจุดสองจุด ครูยืนด้านซ้ายถือไม้บรรทัด ด้านขวาเป็นหมุด A และ B ที่เชื่อมด้วยสายวัดตรงบนเนินหญ้า

จุดบนระนาบพิกัดและระยะตามแนวแกน

จุดบนระนาบพิกัดเขียนเป็นคู่อันดับ (x, y) ระยะตามแนวนอนจากจุด A ไปจุด B คือ Δx = x₂ − x₁ และระยะตามแนวตั้งคือ Δy = y₂ − y₁ ถ้าจุดสองจุดอยู่ในแนวนอนเดียวกัน ระยะระหว่างจุดคือ |Δx| และถ้าอยู่ในแนวตั้งเดียวกัน ระยะคือ |Δy|

ตัวอย่าง

A(2, −2) และ B(−2, 1) ได้ Δx = −2 − 2 = −4 และ Δy = 1 − (−2) = 3

การเปลี่ยนแปลงแนวนอน Δx = x₂ − x₁ และแนวตั้ง Δy = y₂ − y₁ ระยะ |Δx| หรือ |Δy| เมื่อจุดอยู่แนวเดียวกัน และตัวอย่าง A(2, −2), B(−2, 1) ได้ Δx = −4, Δy = 3 คือไปซ้าย 4 หน่วยและขึ้น 3 หน่วย
Δx และ Δy ติดลบได้ แต่ระยะทางต้องไม่ติดลบ

สูตรระยะทางจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ลากเส้นแนวนอนจาก A และเส้นแนวตั้งจาก B ให้พบกันที่มุมฉาก จะได้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มี AB เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้านประกอบมุมฉากยาว |Δx| และ |Δy| จากทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงได้ AB = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² และสลับ A กับ B แล้วระยะทางเท่าเดิม

ตัวอย่าง

A(2, −2) และ B(−2, 1) ได้ AB = (−4)² + 3² = 16 + 9 = 25 = 5 หน่วย

สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉาก |Δx| และ |Δy| และด้านตรงข้ามมุมฉาก AB ให้สูตร AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) พร้อมตัวอย่าง A(2, −2), B(−2, 1) ได้ AB = √(16 + 9) = √25 = 5 หน่วย
สูตรระยะทางมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส และสลับ A กับ B แล้วระยะเท่าเดิม

ตอบเป็นรากที่สองหรือทศนิยม

ถ้า (Δx)² + (Δy)² ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ คำตอบเป็นจำนวนอตรรกยะ ตอบได้สองแบบ แบบแรกคือรูปราก เช่น 52 = 213 โดยดึงตัวประกอบที่เป็นกำลังสองออกจากเครื่องหมายราก แบบที่สองคือทศนิยมตามจำนวนตำแหน่งที่โจทย์กำหนด เช่น 7.21 ในห้องทดลองเลือกรูปแบบคำตอบและจำนวนตำแหน่งทศนิยมได้

ตัวอย่าง

A(0, 9) และ B(−15, 8) ได้ AB = 15² + 1² = 226 ≈ 15.03 ส่วน A(1, 1) และ B(5, 7) ได้ AB = 16 + 36 = 52 = 213 ≈ 7.21

การตอบเป็นรูปรากหรือทศนิยม เช่น √52 = √(4 × 13) = 2√13 ≈ 7.21 ตัวอย่าง A(0, 9), B(−15, 8) ได้ AB = √226 ≈ 15.03 หน่วย และ A(1, 1), B(5, 7) ได้ AB = √52 = 2√13 ≈ 7.21 หน่วย
เมื่อผลรวมกำลังสองไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ระยะทางเป็นจำนวนอตรรกยะ ตอบเป็นรูปรากหรือปัดทศนิยมได้

จุดกึ่งกลางและความชัน

จุดกึ่งกลางของ AB คือ M(x₁ + x₂2, y₁ + y₂2) ซึ่งอยู่ห่างจาก A และ B เท่ากัน ส่วนความชันของเส้นตรงที่ผ่าน A และ B คือ m = y₂ − y₁x₂ − x₁ ถ้า x₂ = x₁ เส้นตรงเป็นแนวตั้งและความชันไม่นิยาม

ตัวอย่าง

A(2, −2) และ B(−2, 1) ได้ M = (0, −12) และ m = 3−4 = −34

สูตรจุดกึ่งกลาง M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) และความชัน m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) เมื่อ x₂ ≠ x₁ พร้อมตัวอย่าง A(2, −2), B(−2, 1) ได้ M = (0, −1/2) และ m = 3/(−4) = −3/4
จุดกึ่งกลางอยู่ห่างจาก A และ B เท่ากัน ส่วนเส้นแนวตั้งมีความชันไม่นิยาม

ใช้กับสามเหลี่ยมและค่าจริง

หาความยาวสามด้านด้วยสูตรเดียวกันเพื่อหาเส้นรอบรูป หรือตรวจว่าเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ด้วยเงื่อนไข a² + b² = c² เมื่อพิกัดเป็นค่าจริง เช่น กิโลเมตรบนแผนที่ หรือเซนติเมตรในผังห้อง ให้ใส่หน่วยในคำตอบ ห้องทดลองตั้งหน่วยได้ และมีโจทย์หาจุด P(x, 0) บนแกน x ที่อยู่ห่างจาก A และ B เท่ากัน

ตัวอย่าง

โรงเรียน A(1, 2) และโรงพยาบาล B(7, 10) หน่วยเป็นกิโลเมตร ได้ AB = 36 + 64 = 10 กม.

การใช้สูตรระยะทางหาเส้นรอบรูปสามเหลี่ยม ตรวจสามเหลี่ยมมุมฉากด้วย a² + b² = c² และหาจุด P(x, 0) ที่ PA² = PB² พร้อมตัวอย่างโรงเรียน A(1, 2) กับโรงพยาบาล B(7, 10) ได้ AB = √(36 + 64) = 10 กม.
เมื่อพิกัดเป็นค่าจริง เช่น กิโลเมตร ต้องใส่หน่วยในคำตอบ

ฝึกโจทย์และบันทึกรูปไปทำข้อสอบ

โหมดฝึกโจทย์สุ่ม 6 แบบ ได้แก่ ระยะทาง จุดกึ่งกลาง ความชัน เส้นรอบรูปสามเหลี่ยม จุดบนแกน x และโจทย์ประยุกต์ ตรวจคำตอบอัตโนมัติ มีคำใบ้และเฉลยทีละขั้น โหมดออกแบบโจทย์ให้ครูกำหนดจุดเอง เขียนข้อความโจทย์ ซ่อนคำตอบ แล้วกด “ซ่อนเครื่องมือ + บันทึกภาพ PNG” เพื่อนำภาพไปใส่ข้อสอบ

ตัวอย่าง

ตั้ง A(−3, −2) และ B(5, 4) ปิด “วิธีคำนวณ” เขียนโจทย์ว่า “จงหาระยะทางระหว่างจุด A กับ B” แล้วบันทึกภาพ เฉลยคือ AB = 64 + 36 = 10

ห้องทดลองระยะทางระหว่างจุดสองจุด

AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) · จุดกึ่งกลาง · ความชัน · สำรวจ ฝึกโจทย์ และออกแบบโจทย์เป็นภาพ
xy−14−12−10−8−6−4−22468101214−8−6−4−224680AB(2, −2)(−2, 1)Δx = −4Δy = 3AB = 5

ลากพื้นหลังเพื่อเลื่อน · ล้อเมาส์เพื่อซูม · ลากวงกลมที่จุด A B C

ลองคิดด้วยตัวเอง

เช็กความเข้าใจ

จุด A(−1, 2) และ B(4, −10) อยู่ห่างกันกี่หน่วย
การ์ดบทพิกัดเชิงขั้ว มีชื่อบทตัวใหญ่ทางซ้าย และระนาบเชิงขั้วที่มีวงกลมซ้อนกับรังสีเส้นประ จุดสีแดงอยู่ห่างจุดกำเนิดระยะ r ทำมุม θ กับแกนนอน บนฉากเมืองริมทะเล
ม.ปลายเรขาคณิตวิเคราะห์35 นาที

พิกัดเชิงขั้ว

ลากจุด P และ Q บนระนาบเชิงขั้ว (r, θ) แล้วดูการแปลงเป็นพิกัดฉาก (x, y) ทีละขั้น สลับหน่วยองศา/เรเดียน ใส่ r ติดลบและมุมเกิน 360° ดูพิกัดที่เท่ากัน หาระยะ PQ จุดกึ่งกลาง และพื้นที่ △OPQ พร้อมกราฟเชิงขั้ว (วงกลม กุหลาบ คาร์ดิออยด์ ลิมาซอน เกลียว) มีโหมดฝึกโจทย์ 5 แบบ 3 ระดับ ออกแบบโจทย์เพื่อบันทึกภาพ และสร้างชุดข้อสอบพร้อมเฉลย

เริ่มเรียน
การ์ดบทระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรง แสดงจุด P สีชมพูอยู่เหนือเส้นตรงบนไม้บรรทัด เชื่อมด้วยแท่งวัดตั้งฉากที่มีเครื่องหมายมุมฉาก ล้อมด้วยดอกไม้และเครื่องเขียน
ม.ปลายเรขาคณิตวิเคราะห์35 นาที

ระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรง

ลากจุด A และเส้นตรง l บนระนาบพิกัด แล้วดูระยะห่าง d เปลี่ยนไปพร้อมวิธีทำทีละขั้น เลือกใช้สูตรหรือหาจุดตั้งฉาก H ก่อนก็ได้ ดูค่าเป็นรูปราก เช่น 15/√5 = 3√5 ทดลองเส้นขนาน วงกลมสัมผัส และโจทย์หาค่า k ฝึกโจทย์สี่ประเภทที่ตรวจคำตอบให้ และมีโหมดออกแบบโจทย์กับชุดข้อสอบสำหรับครูที่บันทึกรูป PNG ไม่มีเครื่องมือบังเพื่อใช้ทำข้อสอบ

เริ่มเรียน
การ์ดบทภาคตัดกรวย (วงกลม) แสดงกรวยใสถูกระนาบแนวนอนตัดเป็นวงกลมสีฟ้า มีวงเวียน กองหนังสือ และดอกไม้สีพาสเทลรอบข้าง
ม.ปลายเรขาคณิตวิเคราะห์35 นาที

ภาคตัดกรวย (วงกลม)

ห้องทดลองสมการวงกลม กำหนดวงกลมได้ 5 แบบ พิมพ์ค่า −99 ถึง 99 หรือลากจุดบนกระดานพิกัด ดูสมการมาตรฐานและรูปทั่วไปพร้อมวิธีทำ ทดสอบจุด เส้นสัมผัส เส้นตรงตัดวงกลม ฝึกโจทย์ และบันทึกภาพกราฟไปออกข้อสอบ

เริ่มเรียน
← กลับไปเลือกบทเรียน