ม.ปลาย · 40 นาที

ภาคตัดกรวย (วงรี)

ห้องทดลองวงรี ปรับ h k a b ได้ถึง ±99 เลือกให้แกนเอกขนานแกน X หรือแกน Y ลากจุดศูนย์กลาง จุดยอด และปลายแกนโท ดูโฟกัส ความเยื้องศูนย์กลาง เลตัสเรกตัม ไดเรกตริกซ์ จุด P ที่ L₁ + L₂ = 2a เส้นสัมผัส ทดสอบจุด แปลงสมการรูปทั่วไปเป็นรูปมาตรฐานทีละขั้น ฝึกโจทย์ 9 แบบ สร้างชุดข้อสอบ และบันทึกภาพกราฟไปใช้ในข้อสอบ

ปกด้านในบทภาคตัดกรวย (วงรี) ครูยืนด้านขวาถือแผ่นวงรีสีม่วง ด้านซ้ายเป็นกรวยใสถูกระนาบเอียงตัดเป็นวงรี และแผ่นวงรีวางบนแท่น

วงรีคือเซตของจุดที่ผลรวมระยะจากโฟกัสสองจุดคงที่

วงรีคือเซตของจุดทุกจุดบนระนาบที่ผลบวกของระยะจากจุดคงที่สองจุด เรียกว่า โฟกัส มีค่าคงที่เท่ากับความยาวแกนเอก 2a ในห้องทดลองให้ลากจุด P สีเทาไปรอบวงรี แล้วดูกล่อง L₁ + L₂ = 2a ว่าค่าไม่เปลี่ยน

ตัวอย่าง

วงรีที่มีโฟกัส F₁(−3, 0) และ F₂(3, 0) ผลรวมระยะ 10 หน่วย จะมี 2a = 10 จึง a = 5 และ c = 3 ซึ่งทำให้ b = 4

วงรีเป็นเซตของจุด P ที่ PF₁ + PF₂ = 2a พร้อมตัวอย่างโฟกัส F₁(−3, 0) และ F₂(3, 0) ผลรวมระยะ 10 หน่วย ได้ a = 5, c = 3, b = √(25 − 9) = 4 แกนเอกยาว 10 และแกนโทยาว 8 หน่วย
ไม่ว่า P อยู่ตรงไหนบนวงรี L₁ + L₂ จะเท่ากับ 2a เสมอ

สมการมาตรฐานและส่วนประกอบของวงรี

วงรีที่มีจุดศูนย์กลาง (h, k) และแกนเอกขนานแกน X มีสมการ (x − h)²a² + (y − k)²b² = 1 ถ้าแกนเอกขนานแกน Y ให้สลับตัวส่วน เป็น (x − h)²b² + (y − k)²a² = 1 โดย a > b เสมอ จุดยอดห่างจากจุดศูนย์กลาง a หน่วย ปลายแกนโทห่าง b หน่วย ห้องทดลองนี้เพิ่มให้เลือกแกนเอกขนานแกน Y ได้ ซึ่งเครื่องมือเดิมไม่มี

ตัวอย่าง

(x − 1)²25 + (y + 2)²9 = 1 มีจุดศูนย์กลาง (1, −2) a = 5 b = 3 แกนเอกขนานแกน X จุดยอด (−4, −2) และ (6, −2) ปลายแกนโท (1, 1) และ (1, −5)

สมการมาตรฐานของวงรีที่แกนเอกขนานแกน X และแกน Y พร้อมจุดยอดและปลายแกนโท และตัวอย่าง (x − 1)²/25 + (y + 2)²/9 = 1 มีจุดศูนย์กลาง (1, −2) a = 5, b = 3 จุดยอด (−4, −2), (6, −2) ปลายแกนโท (1, 1), (1, −5)
ตัวส่วนที่มากกว่าอยู่ใต้พจน์ของแนวแกนเอก จึงบอกได้ว่าแกนเอกขนานแกนใด

โฟกัส ความเยื้องศูนย์กลาง และความสัมพันธ์ a² = b² + c²

ระยะจากจุดศูนย์กลางถึงโฟกัสคือ c โดย c² = a² − b² หรือ a² = b² + c² ซึ่งเห็นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว a (ติ๊ก "สามเหลี่ยม a b c" ในห้องทดลอง) ความเยื้องศูนย์กลาง e = ca มีค่าตั้งแต่ 0 ถึงน้อยกว่า 1 ยิ่งใกล้ 0 วงรียิ่งกลม และเมื่อ a = b จะเป็นวงกลม

ตัวอย่าง

วงรี (x)²25 + (y)²9 = 1 ได้ c² = 25 − 9 = 16 จึง c = 4 โฟกัส (−4, 0) และ (4, 0) e = 45

ความสัมพันธ์ c² = a² − b² หรือ a² = b² + c² แสดงเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากด้านตรงข้ามมุมฉาก a ความเยื้องศูนย์กลาง e = c/a โดย 0 < e < 1 และตัวอย่าง x²/25 + y²/9 = 1 ได้ c = 4 โฟกัส (−4, 0), (4, 0) และ e = 4/5 = 0.8
ระยะโฟกัส c หาได้จาก c² = a² − b² และ e ยิ่งใกล้ 0 วงรียิ่งใกล้วงกลม

เลตัสเรกตัม ไดเรกตริกซ์ พื้นที่ และเส้นรอบรูป

เลตัสเรกตัมคือส่วนของเส้นตรงที่ผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับแกนเอก มีความยาว 2b²a ไดเรกตริกซ์ของวงรีคือเส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกับแกนเอกที่ห่างจากจุดศูนย์กลาง a²c หน่วย พื้นที่ของวงรีคือ πab ส่วนเส้นรอบรูปไม่มีสูตรปิดแบบง่าย ห้องทดลองใช้สูตรประมาณของรามานุจัน ซึ่งเป็นส่วนที่เพิ่มจากเครื่องมือเดิม

ตัวอย่าง

วงรี (x)²25 + (y)²9 = 1 มีเลตัสเรกตัมยาว 2 × 95 = 3.6 ไดเรกตริกซ์ x = ±254 = ±6.25 พื้นที่ 15π ≈ 47.12

สูตรเลตัสเรกตัมยาว 2b²/a ไดเรกตริกซ์ x = h ± a²/c หรือ y = k ± a²/c พื้นที่ πab และสูตรประมาณเส้นรอบรูปของรามานุจัน พร้อมตัวอย่าง x²/25 + y²/9 = 1 ได้เลตัสเรกตัม 18/5 = 3.6 ไดเรกตริกซ์ x = ±25/4 = ±6.25 และพื้นที่ 15π ≈ 47.12
ตัวอย่างวงรี a = 5, b = 3, c = 4 ใช้คำนวณเลตัสเรกตัม ไดเรกตริกซ์ และพื้นที่

จัดสมการรูปทั่วไปเป็นรูปมาตรฐาน

สมการ Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0 ที่ A และ C เป็นบวกและไม่เท่ากัน อาจเป็นวงรี ให้จัดพจน์ x กับพจน์ y แยกกลุ่ม เติมกำลังสองสมบูรณ์ แล้วหารให้ด้านขวาเป็น 1 ถ้าด้านขวาเป็นศูนย์จะได้เพียงจุดเดียว ถ้าเป็นลบจะไม่มีกราฟ ถ้า A = C จะเป็นวงกลม และถ้า A กับ C เครื่องหมายต่างกันจะเป็นไฮเพอร์โบลา แท็บ "แปลงรูป" แสดงทุกขั้นตอน

ตัวอย่าง

9x² + 25y² − 72x + 150y + 144 = 0 ได้ 9(x − 4)² + 25(y + 3)² = 225 หารด้วย 225 ได้ (x − 4)²25 + (y + 3)²9 = 1

ขั้นตอนแปลง 9x² + 25y² − 72x + 150y + 144 = 0 โดยจัดกลุ่มและเติมกำลังสองสมบูรณ์เป็น 9(x − 4)² + 25(y + 3)² = 225 แล้วหารด้วย 225 ได้ (x − 4)²/25 + (y + 3)²/9 = 1 ศูนย์กลาง (4, −3) a = 5, b = 3
จัดกลุ่ม เติมกำลังสองสมบูรณ์ แล้วทำด้านขวาให้เป็น 1 และดูค่าด้านขวาเพื่อบอกว่าเป็นวงรี จุดเดียว หรือไม่มีกราฟ

ฝึกโจทย์ ออกข้อสอบ และบันทึกภาพ

โหมดฝึกโจทย์มี 4 ระดับ และโจทย์ 9 แบบ ได้แก่ จุดศูนย์กลาง ความยาวแกน จุดยอด โฟกัส ความเยื้องศูนย์กลาง เลตัสเรกตัม เขียนสมการจากแกน รูปทั่วไปเป็นมาตรฐาน และเขียนสมการจากโฟกัส โหมดออกแบบโจทย์เลือกซ่อน เว้นว่าง หรือแสดงสมการ เส้นวงรี และส่วนประกอบ เลือกป้ายเป็นชื่อ พิกัด หรือช่องว่างให้นักเรียนเติม แล้วกด "ซ่อนเครื่องมือ + บันทึก PNG" โหมดชุดข้อสอบสุ่มหลายข้อพร้อมเฉลยและคัดลอกเป็นข้อความ

ตัวอย่าง

ตั้งหัวโจทย์ "จงเติมพิกัดของจุดที่กำหนดให้ในกราฟของวงรี" เลือกป้ายเป็น "ช่องว่าง" แล้วบันทึกภาพไปวางในใบงาน

ห้องทดลองภาคตัดกรวย (วงรี)

สำรวจ ฝึก ออกข้อสอบ และบันทึกภาพกราฟวงรี
xy−10−8−6−4−2246810−6−4−22460V₁V₂B₁B₂F₁F₂CPx²36 + y²9 = 1L₁ = 10.26 L₂ = 1.74L₁ + L₂ = 12 = 2a = 12

ลากพื้นหลังเพื่อเลื่อน · ล้อเมาส์ซูม · ลากจุดสีเพื่อเปลี่ยนวงรี

วงรี x²/36 + y²/9 = 1

ลองคิดด้วยตัวเอง

เช็กความเข้าใจ

วงรี ((x)²)/25 + ((y)²)/9 = 1 มีโฟกัสอยู่ที่จุดใด
← กลับไปเลือกบทเรียน