ม.ปลาย · 35 นาที

ดอกเบี้ยทบต้น

โดย ทีมงาน Math Zom · เผยแพร่ 26 ตุลาคม 2569

ห้องทดลองดอกเบี้ยทบต้น ตั้งเงินต้น P อัตรา r และความถี่การทบต้น n ได้สูงสุด 3 ชุด เทียบบนกราฟเดียวกัน ลากเส้นสำรวจอ่านค่า A ดูตาราง อัตราดอกเบี้ยที่แท้จริง เวลาที่เงินเพิ่มเป็นสองเท่า ฝึกหาเงินรวม เงินต้น อัตรา และเวลา ออกชุดข้อสอบพร้อมเฉลย และบันทึกภาพกราฟไปทำข้อสอบ

ปกด้านในบทดอกเบี้ยทบต้น มีชื่อบท กองเหรียญทองที่สูงขึ้นพร้อมต้นอ่อนและลูกศรชี้ขึ้น โดยมีคุณครูถือกระถางเหรียญที่มีต้นอ่อนยืนอยู่ทางขวาของภาพ

ดอกเบี้ยทบต้นคือดอกเบี้ยที่เอาไปคิดดอกเบี้ยต่อ

ดอกเบี้ยเชิงเดียวคิดจากเงินต้นก้อนแรกตลอด ส่วนดอกเบี้ยทบต้นนำดอกเบี้ยที่ได้ในแต่ละงวดไปรวมกับเงินต้น แล้วคิดดอกเบี้ยงวดต่อไปจากยอดใหม่ เงินจึงเติบโตเร็วขึ้นเรื่อย ๆ กราฟของดอกเบี้ยเชิงเดียวเป็นเส้นตรง แต่กราฟของดอกเบี้ยทบต้นเป็นเส้นโค้งที่ชันขึ้น ในห้องทดลองเปิด “ดอกเบี้ยเชิงเดียว” เพื่อเห็นช่องว่างระหว่างสองเส้น

ตัวอย่าง

ฝาก 10,000 บาท อัตรา 8% ต่อปี เมื่อครบ 10 ปี ดอกเบี้ยเชิงเดียวได้เงินรวม 18,000 บาท แต่ทบต้นทุกปีได้ประมาณ 21,589.25 บาท

เปรียบเทียบดอกเบี้ยเชิงเดียว A = P(1 + rt) กับดอกเบี้ยทบต้นปีละครั้ง A = P(1 + r)ᵗ เงินต้น 10,000 บาท อัตรา 8% ต่อปี 10 ปี ได้ 18,000.00 บาท กับ 21,589.25 บาท พร้อมกราฟแนวโน้มที่เส้นทบต้นโค้งสูงกว่า — ดอกเบี้ยทบต้นนำดอกเบี้ยไปคิดต่อ จึงได้มากกว่าดอกเบี้ยเชิงเดียวเมื่อเวลาผ่านไป

สูตร A = P(1 + $\frac{r}{n}$ )^(nt)

P คือเงินต้น r คืออัตราดอกเบี้ยต่อปีในรูปทศนิยม เช่น 8% คือ 0.08 n คือจำนวนครั้งที่ทบต้นใน 1 ปี t คือจำนวนปี และ A คือเงินรวม ทบทุกปีใช้ n = 1 ทุกครึ่งปีใช้ n = 2 ทุกไตรมาสใช้ n = 4 ทุกเดือนใช้ n = 12 ดอกเบี้ยต่อรอบคือ $\frac{r}{n}$ และจำนวนรอบทั้งหมดคือ nt

ตัวอย่าง

ฝาก 20,000 บาท อัตรา 6% ต่อปี ทบต้นทุกไตรมาส 5 ปี ได้ A = 20,000(1 + $\frac{0.06}{4}$ )^(4×5) = 20,000(1.015)^20 ≈ 26,937.10 บาท

ทบถี่ขึ้น เงินมากขึ้น แต่ไม่ได้มากขึ้นไม่จำกัด

ที่เงินต้นและอัตราเท่ากัน ยิ่งทบต้นถี่ เงินรวมยิ่งมาก แต่ส่วนที่เพิ่มขึ้นจะน้อยลงเรื่อย ๆ เมื่อ n มากขึ้นมาก ค่าจะเข้าใกล้ค่าของการทบต้นแบบต่อเนื่อง A = P·e^(rt) ลองเลือก n เป็นทุกเดือน ทุกวัน และแบบต่อเนื่อง แล้วอ่านค่าที่เส้นสำรวจเทียบกัน หรือใช้ “กำหนดเอง” ใส่ n เป็นค่าอื่น เช่น 1000

ตัวอย่าง

ฝาก 100 บาท r = 16.2% เป็นเวลา 10 ปี ทบทุกปีได้ 448.81 ทุกเดือน 499.86 ทุกวัน 505.13 และแบบต่อเนื่อง 505.31 บาท

เงินต้น 100 บาท อัตรา 16.2% ต่อปี 10 ปี ทบทุกปีได้ 448.81 บาท ทุกเดือน 499.86 บาท ทุกวัน 505.13 บาท และแบบต่อเนื่อง A = Peʳᵗ ได้ 505.31 บาท พร้อมกราฟที่เข้าใกล้ค่าจำกัด — ยิ่งทบถี่เงินยิ่งเพิ่ม แต่ส่วนที่เพิ่มน้อยลงและเข้าใกล้ค่าจากการทบแบบต่อเนื่อง

อัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงและกฎ 72

อัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงต่อปีคืออัตราที่ทบทุกปีแล้วให้ผลเท่ากับการทบ n ครั้ง คำนวณจาก (1 + $\frac{r}{n}$ )^n − 1 เวลาที่เงินเพิ่มเป็นสองเท่าหาได้จาก t = ln 2 ÷ [n·ln(1 + $\frac{r}{n}$ )] และประมาณคร่าว ๆ ได้ด้วยกฎ 72 คือ 72 ÷ r (r เป็นเปอร์เซ็นต์) ดูได้ในแท็บ “สรุปผล”

ตัวอย่าง

r = 6% ทบทุกเดือน อัตราที่แท้จริงประมาณ 6.17% ต่อปี และเงินเพิ่มเป็นสองเท่าใน 11.58 ปี ส่วนกฎ 72 ประมาณได้ 12 ปี

การย้อนหาเงินต้น อัตรา และเวลา

ถ้ารู้เงินรวมและต้องการหาเงินต้น ใช้ P = A ÷ (1 + $\frac{r}{n}$ )^(nt) ถ้าต้องการหาอัตรา ถอดรากอันดับ nt ของ $\frac{A}{P}$ แล้วนำ 1 ลบ คูณ n ถ้าต้องการหาเวลา ใช้ลอการิทึมดึง t ลงมา t = ln( $\frac{A}{P}$ ) ÷ [n·ln(1 + $\frac{r}{n}$ )] ตัวเลือก “เส้นเป้าหมาย” ในห้องทดลองช่วยตรวจคำตอบของโจทย์ประเภทนี้ได้

ตัวอย่าง

ฝาก 10,000 บาท อัตรา 8% ทบทุกปี ต้องการ 20,000 บาท ใช้เวลา t = ln 2 ÷ ln 1.08 ≈ 9.01 ปี

ฝึกโจทย์ ออกข้อสอบ และบันทึกภาพ

โหมดฝึกโจทย์มี 5 ชนิด ได้แก่ หาเงินรวม หาดอกเบี้ย หาเงินต้น หาอัตรา และหาเวลา ใน 4 ระดับ ตั้งแต่ทบทุกปีไปจนถึงทบต่อเนื่อง มีคำใบ้และวิธีทำ โหมดออกแบบโจทย์เลือกแสดง เว้นว่าง หรือซ่อนสมการและค่าที่จุดสำรวจ แล้วกด “ซ่อนเครื่องมือ + บันทึก PNG” ภาพที่ได้ไม่มีแผงเครื่องมือ โหมดชุดข้อสอบสุ่มหลายข้อพร้อมเฉลย ใช้รหัสชุดเพื่อได้ข้อสอบชุดเดิมซ้ำ และคัดลอกเป็นข้อความได้ทันที

ตัวอย่าง

ตั้งสองชุดค่า r = 5% ทบทุกปีกับทบทุกเดือน ตั้งหัวข้อ “จงหาว่าเมื่อครบ 20 ปี ทบแบบใดได้เงินมากกว่า และมากกว่ากี่บาท” เลือกค่าที่จุดสำรวจเป็น “เว้นว่าง” แล้วบันทึกภาพไปวางในใบงาน

ห้องทดลองดอกเบี้ยทบต้น

เทียบการทบต้นหลายแบบ ฝึก ออกข้อสอบ และบันทึกภาพกราฟ

ลากเพื่อเลื่อน · ล้อเมาส์ซูม · ลากสามเหลี่ยมเพื่อเลื่อน t

เงินต้น P (บาท)

ชุดที่ 1A = 10000(1 + 0.08)^t

ชุดที่ 2A = 10000(1 + 0.08/12)^(12t)

ชุดที่ 3

เวลา

tปี

แกนเวลาสูงสุด ปีติดค่า

รูปแบบกราฟ

แกน y ลอการิทึม ดอกเบี้ยเชิงเดียว เส้นสำรวจ t ตาราง กล่องสมการ เส้นเป้าหมาย

ขั้นบันได: ดอกเบี้ยเข้าบัญชีตอนครบงวดเท่านั้น ค่า A ที่อ่านจึงเป็นยอดจริงในบัญชี ส่วน “เส้นโค้ง” ใช้สูตรกับ t ทุกค่า

ลองคิดด้วยตัวเอง

เช็กความเข้าใจ

ฝากเงิน 10,000 บาท อัตรา 10% ต่อปี ทบต้นทุกปี เมื่อครบ 2 ปี จะมีเงินรวมกี่บาท

12,100

12,000

11,000

12,200

← กลับไปเลือกบทเรียน

ดอกเบี้ยทบต้นคือดอกเบี้ยที่เอาไปคิดดอกเบี้ยต่อ

สูตร A = P(1 + rn)^(nt)

ทบถี่ขึ้น เงินมากขึ้น แต่ไม่ได้มากขึ้นไม่จำกัด

อัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงและกฎ 72

การย้อนหาเงินต้น อัตรา และเวลา

ฝึกโจทย์ ออกข้อสอบ และบันทึกภาพ

เช็กความเข้าใจ

บทเรียนอื่นในหมวดฟังก์ชัน

ฟังก์ชัน โดเมน เรนจ์ และชนิดของฟังก์ชัน

โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันพหุนาม

สูตร A = P(1 + $\frac{r}{n}$ )^(nt)