ม.ปลาย · 40 นาที

ลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต

โดย ทีมงาน Math Zom · เผยแพร่ 26 ตุลาคม 2569

ห้องทดลองลำดับเลขคณิตและเรขาคณิต ปรับ a₁ d r ได้ถึง ±999 และ n ถึง 200 ลากจุดบนกราฟ ดูขั้นบันได +d ×r ผลรวม Sₙ S∞ แกนลอการิทึม เปรียบเทียบสองลำดับ พร้อมฝึกโจทย์ 5 แบบ ออกแบบภาพข้อสอบ และสุ่มชุดข้อสอบพร้อมเฉลย

ปกด้านในบทลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต มีกล่องตัวเลข 3, 7, 11 (+4) และ 2, 6, 18 (×3) ทางซ้าย และครูยืนอยู่ทางขวาถือกล่องเลข 18

ลำดับคือรายการของจำนวนที่เรียงตามตำแหน่ง n

ลำดับคือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจำนวนเต็มบวก เขียนพจน์ที่ n ว่า aₙ ในห้องทดลองแต่ละจุดบนกราฟคือคู่ (n, aₙ) และต่างจากกราฟของฟังก์ชันทั่วไปตรงที่มีเฉพาะจุดที่ n เป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง

ลำดับ 3, 7, 11, 15, … มี a₁ = 3, a₂ = 7, a₃ = 11 และ a₄ = 15

ลำดับเลขคณิตและผลต่างร่วม d

ลำดับเลขคณิตมีผลต่างของสองพจน์ที่อยู่ติดกันคงที่ เรียกว่าผลต่างร่วม d = aₙ₊₁ − aₙ สูตรพจน์ทั่วไปคือ aₙ = a₁ + (n − 1)d กราฟเป็นจุดเรียงบนเส้นตรง ถ้า d > 0 เพิ่มขึ้น ถ้า d < 0 ลดลง เปิดตัวเลือก ผลต่าง / อัตราส่วน เพื่อดูขั้นบันได +d

ตัวอย่าง

20, 17, 14, … มี a₁ = 20, d = −3 จึง a₁₀ = 20 + 9(−3) = −7

ลำดับเรขาคณิตและอัตราส่วนร่วม r

ลำดับเรขาคณิตมีอัตราส่วนของสองพจน์ที่อยู่ติดกันคงที่ เรียกว่าอัตราส่วนร่วม r = aₙ₊₁ / aₙ (a₁ ≠ 0, r ≠ 0) สูตรพจน์ทั่วไปคือ aₙ = a₁rⁿ⁻¹ ถ้า r > 1 ค่าโตเร็ว ถ้า 0 < r < 1 ค่าเข้าใกล้ 0 ถ้า r < 0 เครื่องหมายสลับบวกลบ ลองเปิดแกน y แบบลอการิทึมแล้วจะเห็นว่าลำดับเรขาคณิตที่เป็นบวกเรียงเป็นเส้นตรง

ตัวอย่าง

2, 6, 18, … มี a₁ = 2, r = 3 จึง a₆ = 2 · 3⁵ = 486

ผลบวก n พจน์แรก

อนุกรมเลขคณิต Sₙ = $\frac{n (a₁ + aₙ)}{2}$ = $\frac{n (2a₁ + (n − 1)d)}{2}$ อนุกรมเรขาคณิต Sₙ = a₁ $\frac{1 − rⁿ}{1 − r}$ เมื่อ r ≠ 1 และ Sₙ = na₁ เมื่อ r = 1 เปิด ผลรวม Sₙ ในห้องทดลองเพื่อดูผลบวกสะสมเป็นจุดรูปข้าวหลามตัด

ตัวอย่าง

3, 7, 11, …, 39 มี d = 4 และ n = 10 จึง S₁₀ = $\frac{10 (3 + 39)}{2}$ = 210

อนุกรมเรขาคณิตอนันต์

ถ้า |r| < 1 ผลบวก Sₙ จะเข้าใกล้ค่าคงที่ S∞ = a₁/(1 − r) เปิดตัวเลือก ค่า S∞ เพื่อดูเส้นประที่จุดลู่เข้า ถ้า |r| ≥ 1 อนุกรมไม่ลู่เข้า

ตัวอย่าง

8 + 4 + 2 + … มี a₁ = 8, r = $\frac{1}{2}$ จึง S∞ = $\frac{8}{1 − \frac{1}{2}}$ = 16

หาค่าจากสองพจน์ และหาว่าค่านี้เป็นพจน์ที่เท่าไร

ถ้ารู้สองพจน์ aₘ และ aₖ ของลำดับเลขคณิต d = $\frac{aₖ − aₘ}{k − m}$ แล้วหา a₁ = aₘ − (m − 1)d ของลำดับเรขาคณิต rᵏ⁻ᵐ = aₖ/aₘ (ถ้า k − m เป็นเลขคู่ r มีได้สองเครื่องหมาย จึงมักกำหนด r > 0) แท็บ ผลลัพธ์ มีช่องหาพจน์ที่ m และช่องถามว่าค่าที่กำหนดเป็นพจน์ที่เท่าไร

ตัวอย่าง

a₃ = 11 และ a₇ = 27 ได้ d = $\frac{16}{4}$ = 4 และ a₁ = 11 − 2(4) = 3

ฝึกโจทย์ ออกแบบภาพข้อสอบ และสุ่มชุดข้อสอบ

โหมดฝึกโจทย์มี 5 แบบพร้อมตรวจคำตอบและวิธีทำ โหมดออกแบบโจทย์เลือกองค์ประกอบบนกราฟ ซ่อนบางพจน์ให้เป็น ? และให้ช่องว่างใต้กราฟ แล้วบันทึกภาพ PNG ที่ไม่มีแผงเครื่องมือ โหมดชุดข้อสอบสุ่มโจทย์พร้อมเฉลยให้คัดลอกเป็นข้อความ

ตัวอย่าง

ซ่อน a₅ ของลำดับ 2, 5, 8, … แล้วถามว่า ? มีค่าเท่าใด ได้ a₅ = 2 + 4(3) = 14

ห้องทดลองลำดับเลขคณิตและเรขาคณิต

พจน์ทั่วไป · ผลต่างร่วม · อัตราส่วนร่วม · ผลบวก Sₙ · S∞

ลากจุด a₁ · a₂ · จุดสุดท้าย เพื่อปรับ a₁ · d หรือ r · n (Shift = ละเอียด) · ลากพื้นหลังเพื่อเลื่อน · ล้อเมาส์เพื่อซูม

ชนิดของลำดับ

a₁

พิมพ์ได้: a₁ และ d ตั้งแต่ −999 ถึง 999 · r ตั้งแต่ −99 ถึง 99 (r ≠ 0, ลำดับเรขาคณิตต้อง a₁ ≠ 0) · n ถึง 200 · ทศนิยมหรือเศษส่วนได้ เช่น −7/2 · แถบเลื่อนครอบคลุมช่วงเล็กกว่า

aₙ = 4n − 1

aₙ = 3 + (n − 1)(4)

ตัวอย่างลำดับ

ลองคิดด้วยตัวเอง

เช็กความเข้าใจ

ลำดับเรขาคณิตที่มี a₂ = 6 และ a₄ = 54 โดยที่ r > 0 มี a₁ เท่าใด

← กลับไปเลือกบทเรียน

ลำดับคือรายการของจำนวนที่เรียงตามตำแหน่ง n

ลำดับเลขคณิตและผลต่างร่วม d

ลำดับเรขาคณิตและอัตราส่วนร่วม r

ผลบวก n พจน์แรก

อนุกรมเรขาคณิตอนันต์

หาค่าจากสองพจน์ และหาว่าค่านี้เป็นพจน์ที่เท่าไร

ฝึกโจทย์ ออกแบบภาพข้อสอบ และสุ่มชุดข้อสอบ

เช็กความเข้าใจ

บทเรียนอื่นในหมวดลำดับและอนุกรม

ลิมิตของลำดับ