ม.ปลาย · 35 นาที

ฟังก์ชัน โดเมน เรนจ์ และชนิดของฟังก์ชัน

โดย ทีมงาน Math Zom · เผยแพร่ 23 ตุลาคม 2569

เรียนความสัมพันธ์ โดเมน เรนจ์ การตรวจว่าเป็นฟังก์ชันจากแผนภาพลูกศร คู่อันดับ กราฟ และตาราง ชนิดหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง ฟังก์ชันผกผัน การนับจำนวนฟังก์ชัน และฟังก์ชันจากสูตร พร้อมห้องทดลอง 3 โหมด คือสำรวจโดยลากลูกศรหรือวางจุดบนกราฟ ฝึกทำโจทย์ 8 แบบที่ตรวจคำตอบอัตโนมัติ และสร้างข้อสอบพร้อมเฉลยสำหรับครู พิมพ์เป็นกระดาษคำถามหรือคัดลอกเป็นข้อความได้

ปกด้านในบทฟังก์ชัน โดเมน เรนจ์ และชนิดของฟังก์ชัน ครูยืนอยู่ด้านซ้ายถือป้าย x และ f(x) ข้างเครื่องจักรที่เปลี่ยนลูกบอล x เป็น f(x) บนสายพาน

ความสัมพันธ์ โดเมน และเรนจ์

ความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B คือเซตของคู่อันดับ (x, y) ที่ x เป็นสมาชิกของ A และ y เป็นสมาชิกของ B เซตของสมาชิกตัวหน้าทั้งหมดที่ปรากฏในคู่อันดับเรียกว่าโดเมน (D) และเซตของสมาชิกตัวหลังทั้งหมดที่ปรากฏเรียกว่าพิสัยหรือเรนจ์ของความสัมพันธ์ (R) ในห้องทดลองนี้ชื่อ “เรนจ์” บนแผนภาพหมายถึงเซต B ทั้งเซต ส่วนค่า y ที่ถูกจับคู่จริงเรียกว่าพิสัย R_f เพื่อไม่ให้สับสน

ตัวอย่าง

ให้ A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3, 4} และ r = {(1, 2), (2, 4), (3, 2)} จะได้โดเมน D = {1, 2, 3} และสมาชิกตัวหลังที่ปรากฏคือ {2, 4} ซึ่งไม่ครบ B เพราะ 1 กับ 3 ไม่ถูกจับคู่เลย

ความสัมพันธ์ r = {(1, 2), (2, 4), (3, 2)} จาก A = {1, 2, 3} ไป B = {1, 2, 3, 4} มีโดเมน D = {1, 2, 3} และเรนจ์ R = {2, 4} ซึ่งเป็นสับเซตของ B — โดเมนคือสมาชิกตัวหน้าที่ปรากฏจริง ส่วนเรนจ์คือสมาชิกตัวหลังที่ปรากฏจริง ซึ่ง 1 และ 3 ใน B ไม่ถูกจับคู่

ฟังก์ชันจาก A ไป B

ฟังก์ชันจาก A ไป B คือความสัมพันธ์ที่ x ทุกตัวใน A จับคู่กับ y ใน B เพียงตัวเดียวเท่านั้น จึงมีเงื่อนไข 2 ข้อพร้อมกัน ข้อแรก x ทุกตัวต้องมีคู่ ข้อสอง x แต่ละตัวมีคู่ได้ไม่เกินหนึ่งตัว เขียนว่า y = f(x) ถ้ามี x ที่ไม่มีคู่ หรือมี x ที่จับคู่กับ y หลายตัว ความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน ในห้องทดลองให้ลากลูกศรแล้วเลือก “เป็นฟังก์ชันหรือไม่” ระบบจะแรเงาแดงที่ x ซึ่งมีปัญหา

ตัวอย่าง

ให้ A = {1, 2, 3} และ B = {1, 2, 3} r₁ = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)} เป็นฟังก์ชัน เพราะ x ทุกตัวมีลูกศรเส้นเดียว r₂ = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 3)} ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะ 1 มีสองคู่ และ r₃ = {(1, 2), (3, 1)} ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะ 2 ไม่มีคู่

เทียบความสัมพันธ์บน A = B = {1, 2, 3} โดย r₁ = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)} เป็นฟังก์ชัน r₂ ไม่เป็นฟังก์ชันเพราะ 1 จับคู่กับทั้ง 1 และ 3 และ r₃ = {(1, 2), (3, 1)} ไม่เป็นฟังก์ชันเพราะ 2 ไม่มีคู่ — ฟังก์ชันต้องผ่านสองเงื่อนไขพร้อมกัน คือ x ทุกตัวมีคู่ และแต่ละ x มีคู่เดียว

ดูให้ออกในสี่รูปแบบ: ลูกศร คู่อันดับ กราฟ ตาราง

ความสัมพันธ์เดียวกันแสดงได้หลายแบบ แผนภาพลูกศรดูว่ามีลูกศรออกจาก x กี่เส้น คู่อันดับดูว่ามีคู่ที่ตัวหน้าซ้ำกันหรือไม่ และดูว่ามีสมาชิกตัวหน้าครบทุกตัวของ A หรือเปล่า ตารางดูว่า x ตัวเดียวกันขึ้นหลายแถวหรือมีแถวว่างไหม ส่วนกราฟใช้เส้นทดสอบแนวตั้ง ถ้าเส้นตรงขนานแกน y ตัดกราฟมากกว่าหนึ่งจุดที่ x ใด ความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน และถ้าไม่ตัดกราฟเลยแสดงว่า x นั้นยังไม่มีคู่ ห้องทดลองทำเส้นทดสอบให้เป็นแถบแรเงาในกราฟ

ตัวอย่าง

จาก r₂ ในหัวข้อก่อน คู่ (1, 1) และ (1, 3) อยู่ในแนวตั้งเดียวกันที่ x = 1 เส้นทดสอบแนวตั้งที่ x = 1 จึงตัดกราฟสองจุด สรุปว่าไม่เป็นฟังก์ชัน ตรงกับที่เห็นจากลูกศรสองเส้นออกจาก 1

ความสัมพันธ์เดียวกันแสดงได้สี่แบบ ได้แก่ แผนภาพลูกศร คู่อันดับ ตาราง และกราฟ โดยคู่ (1, 1) กับ (1, 3) อยู่บนเส้นแนวตั้ง x = 1 เดียวกันจึงไม่เป็นฟังก์ชัน — เส้นทดสอบแนวตั้งที่ x = 1 ตัดกราฟสองจุด ตรงกับที่เห็นจากลูกศรสองเส้นออกจาก 1

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและฟังก์ชันทั่วถึง

เมื่อเป็นฟังก์ชันแล้วจึงตรวจชนิดต่อ ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง คือ y แต่ละตัวมี x มาจับคู่ได้ไม่เกินหนึ่งตัว หรือกล่าวว่า ถ้า f(a) = f(b) แล้ว a = b ฟังก์ชันทั่วถึง คือ y ทุกตัวใน B มี x มาจับคู่อย่างน้อยหนึ่งตัว นั่นคือพิสัย R_f เท่ากับ B ถ้าเป็นทั้งสองอย่างเรียกว่าหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง ในกราฟใช้เส้นทดสอบแนวนอนตรวจความเป็นหนึ่งต่อหนึ่ง ถ้าเส้นขนานแกน x ตัดกราฟมากกว่าหนึ่งจุด แสดงว่าไม่หนึ่งต่อหนึ่ง

ตัวอย่าง

ให้ A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3, 4} f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง เพราะไม่มี y ใดรับลูกศรเกินหนึ่งเส้น แต่ไม่ทั่วถึง เพราะ 1 ไม่ถูกเลือก และ R_f = {2, 3, 4} ≠ B ส่วน g = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 3)} จาก {1, 2, 3, 4} ไป {1, 2, 3} ทั่วถึงแต่ไม่หนึ่งต่อหนึ่ง เพราะ 3 รับลูกศรสองเส้น

f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} จาก {1, 2, 3} ไป {1, 2, 3, 4} เป็นหนึ่งต่อหนึ่งแต่ไม่ทั่วถึงเพราะ R_f = {2, 3, 4} ≠ B ส่วน g = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 3)} ทั่วถึงแต่ไม่หนึ่งต่อหนึ่ง — เปรียบเทียบเงื่อนไขหนึ่งต่อหนึ่ง f(a) = f(b) ⇒ a = b กับเงื่อนไขทั่วถึง R_f = B จากตัวอย่าง f และ g

ฟังก์ชันผกผัน

ความสัมพันธ์ผกผันของ f คือ f⁻¹ = {(y, x) | (x, y) ∈ f} ได้จากการกลับทิศลูกศรทุกเส้น f⁻¹ จะเป็นฟังก์ชันก็ต่อเมื่อ y แต่ละตัวถูกลูกศรชี้มาไม่เกินหนึ่งเส้น ซึ่งเท่ากับ f เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง กรณี f เป็นหนึ่งต่อหนึ่งแต่ไม่ทั่วถึง f⁻¹ นิยามได้เฉพาะ y ใน R_f เท่านั้น และกรณีหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง f⁻¹ เป็นฟังก์ชันจาก B ไป A ครบทุกตัว ในห้องทดลองเลือก “ฟังก์ชันผกผัน” และใช้ช่อง “หาค่าของฟังก์ชัน” ทดลองหา f⁻¹(y)

ตัวอย่าง

จาก f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} กลับลูกศรได้ f⁻¹ = {(2, 1), (3, 2), (4, 3)} เป็นฟังก์ชันจาก R_f = {2, 3, 4} ไป A แต่ถ้า g = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 3)} กลับลูกศรแล้ว 3 ชี้ไปทั้ง 3 และ 4 จึง g⁻¹ ไม่เป็นฟังก์ชัน

f⁻¹ = {(y, x) | (x, y) ∈ f} โดย f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} ให้ f⁻¹ = {(2, 1), (3, 2), (4, 3)} ที่มีโดเมน R_f = {2, 3, 4} ส่วน g⁻¹ มีทั้ง (3, 3) และ (3, 4) จึงไม่เป็นฟังก์ชัน — สลับสมาชิกหน้าและหลังของทุกคู่อันดับ แล้ว f⁻¹ จะเป็นฟังก์ชันก็ต่อเมื่อ f เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง

นับจำนวนฟังก์ชัน

ถ้า A มี m ตัวและ B มี n ตัว จำนวนฟังก์ชันทั้งหมดจาก A ไป B คือ nᵐ เพราะ x แต่ละตัวเลือก y ได้ n แบบ จำนวนฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งคือ n(n − 1)(n − 2)… ลงไปให้ครบ m ตัวคูณ เมื่อ m ≤ n และเป็น 0 เมื่อ m > n จำนวนฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึงมีเมื่อ m = n เท่านั้น เท่ากับ n! ส่วนฟังก์ชันทั่วถึงนับได้ด้วยหลักการเพิ่มเข้าและตัดออก ซึ่งห้องทดลองคำนวณและแสดงให้ในการ์ด “นับจำนวนฟังก์ชัน”

ตัวอย่าง

เมื่อ A มี 3 ตัวและ B มี 2 ตัว ฟังก์ชันทั้งหมดมี 2³ = 8 ฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่งมี 0 ฟังก์ชันเพราะ A ใหญ่กว่า B ทั่วถึงมี 2³ − 2 × 1³ = 6 ฟังก์ชัน และเมื่อ m = n = 3 หนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึงมี 3! = 6 ฟังก์ชัน

เมื่อ |A| = m และ |B| = n ฟังก์ชันทั้งหมดมี nᵐ แบบ หนึ่งต่อหนึ่งมี n!/(n − m)! แบบเมื่อ m ≤ n และหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึงมี n! แบบเมื่อ m = n เช่น m = 3, n = 2 ได้ทั้งหมด 2³ = 8 และทั่วถึง 2³ − 2 × 1³ = 6 — สูตรนับจำนวนฟังก์ชันแต่ละชนิด พร้อมตัวอย่าง m = 3, n = 2 และ m = n = 3

ฟังก์ชันจากสูตร f(x)

เมื่อกำหนดสูตร เช่น f(x) = 2x + 1 และโดเมนเป็นเซตของจำนวน ให้แทนค่า x ทีละตัวเพื่อหาคู่อันดับ พิสัยคือเซตของค่า f(x) ที่ได้จริง ไม่ใช่ทุกจำนวน ในห้องทดลองพิมพ์สูตรในส่วน “กำหนดสูตร f(x)” แล้วกด “วาดจากสูตร” ระบบสร้างแผนภาพลูกศร คู่อันดับ กราฟ และตารางให้ทันที ช่อง “เรนจ์เพิ่ม” ใช้เพิ่มสมาชิกใน B ที่ไม่ถูกเลือก เพื่อดูตัวอย่างฟังก์ชันที่ไม่ทั่วถึง

ตัวอย่าง

f(x) = x² บนโดเมน {−2, −1, 0, 1, 2} ให้ f(−2) = f(2) = 4 และ f(−1) = f(1) = 1 จึงได้พิสัย {0, 1, 4} ฟังก์ชันนี้ไม่หนึ่งต่อหนึ่ง เพราะ −2 กับ 2 ได้ค่าเดียวกัน ถ้าเปลี่ยนโดเมนเป็น {0, 1, 2} จะได้หนึ่งต่อหนึ่ง

f(x) = x² บนโดเมน {−2, −1, 0, 1, 2} ให้เรนจ์ที่ได้จริง R_f = {0, 1, 4} และไม่หนึ่งต่อหนึ่งเพราะ f(−2) = f(2) = 4 แต่ถ้าจำกัดโดเมนเป็น {0, 1, 2} จะเป็นหนึ่งต่อหนึ่ง — แทนค่า x ทีละตัวในสูตรเพื่อหาคู่อันดับและเรนจ์ที่ได้จริง

วิธีใช้ห้องทดลองสามโหมด

โหมดสำรวจ กำหนดสมาชิกของโดเมนและเรนจ์ ลากลูกศรหรือวางจุดบนกราฟ ดูคู่อันดับ กราฟ และตารางเปลี่ยนตามกัน ตรวจว่าเป็นฟังก์ชัน ชนิดของฟังก์ชัน และฟังก์ชันผกผัน หรือสุ่มความสัมพันธ์ตามชนิดที่ต้องการ โหมดฝึกทำ ระบบสุ่มโจทย์ 8 แบบ ตรวจคำตอบทันที มีคำใบ้หลังตอบผิดครั้งแรก และเฉลยหลังตอบผิดสองครั้ง โหมดสร้างข้อสอบ ครูเลือกชนิดข้อ รูปแบบการแสดงความสัมพันธ์ ระดับ และจำนวนข้อ หรือเพิ่มข้อจากความสัมพันธ์ที่วาดไว้ แล้วพิมพ์เป็นกระดาษข้อสอบพร้อมเฉลย หรือคัดลอกเป็นข้อความ

ตัวอย่าง

ลองสุ่มข้อสอบ 6 ข้อ ระดับกลาง เลือกครบทั้งสี่รูปแบบ กด “แสดงเฉลยในกระดาษ” แล้วเลือก “พิมพ์ / บันทึกเป็น PDF” ได้ทั้งกระดาษคำถามและกระดาษเฉลย

ห้องทดลองฟังก์ชัน

โดเมน · เรนจ์ · หนึ่งต่อหนึ่ง · ทั่วถึง · ฟังก์ชันผกผัน

ลากลูกศรจากโดเมนไปเรนจ์ หรือวางจุดบนกราฟ แล้วดูคู่อันดับ กราฟ และตารางเปลี่ยนตามกันทันที พร้อมตรวจว่าเป็นฟังก์ชัน ชนิดของฟังก์ชัน และฟังก์ชันผกผัน หรือกำหนดสูตร f(x) ให้ระบบวาดให้

1 กำหนดโดเมน A และเรนจ์ B

จำนวนสมาชิก A

จำนวนสมาชิก B

สมาชิกได้ไม่เกิน 8 ตัวต่อเซต พิมพ์ได้ทั้งตัวเลข (รวมจำนวนลบ) และตัวอักษร

2 สร้างความสัมพันธ์

ลากจากสมาชิก A ไป B หรือแตะ A แล้วแตะ B แตะลูกศรหรือแตะซ้ำเพื่อลบ หรือแตะจุดตัดบนกราฟ

ลากเส้นใหม่จาก x เดิมให้แทนเส้นเก่า (ช่วยสร้างฟังก์ชัน)

ตัวอย่างสำเร็จรูป

สุ่มความสัมพันธ์

3 หรือกำหนดสูตร f(x) เสริม

f(x) =

โดเมน

เรนจ์เพิ่ม

ใช้ x ตัวเลข + − × ÷ ^ วงเล็บ abs( ) sqrt( ) เช่น 2x+1, x², 3(x−1), abs(x−2)

f : A → B

สมาชิกในโดเมนแต่ละตัวจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์เพียงตัวเดียวเท่านั้น

∴ เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B

A = {1, 2, 3} · B = {1, 2, 3} · D_f = {1, 2, 3} · R_f = {1, 2, 3}

คู่อันดับ

R = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)}

กราฟ แตะจุดตัดเพื่อวาง/ลบจุด

แสดงเส้นทดสอบ (แนวตั้งสำหรับตรวจฟังก์ชัน · แนวนอนสำหรับตรวจหนึ่งต่อหนึ่ง)

ตาราง

x ∈ A	y ∈ B
1	2
2	3
3	1

หาค่าของฟังก์ชัน

x =

f(1) = 2

y =

f⁻¹(1) = 3

นับจำนวนฟังก์ชัน |A| = 3, |B| = 3

ฟังก์ชันทั้งหมด (n^m): 27
หนึ่งต่อหนึ่ง (P(n, m)): 6
ทั่วถึง: 6
หนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง: 6

ใช้กับ m = จำนวนสมาชิก A และ n = จำนวนสมาชิก B ที่ตั้งไว้ในขั้นที่ 1

ลองคิดด้วยตัวเอง

เช็กความเข้าใจ

ให้ A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3, 4} และ f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} ข้อใดถูกต้อง

f เป็นหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง

f เป็นหนึ่งต่อหนึ่งแต่ไม่ทั่วถึง

f เป็นทั่วถึงแต่ไม่หนึ่งต่อหนึ่ง

f ไม่เป็นฟังก์ชัน

← กลับไปเลือกบทเรียน

ความสัมพันธ์ โดเมน และเรนจ์

ฟังก์ชันจาก A ไป B

ดูให้ออกในสี่รูปแบบ: ลูกศร คู่อันดับ กราฟ ตาราง

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและฟังก์ชันทั่วถึง

ฟังก์ชันผกผัน

นับจำนวนฟังก์ชัน

ฟังก์ชันจากสูตร f(x)

วิธีใช้ห้องทดลองสามโหมด

1 กำหนดโดเมน A และเรนจ์ B

2 สร้างความสัมพันธ์

3 หรือกำหนดสูตร f(x) เสริม

คู่อันดับ

กราฟ แตะจุดตัดเพื่อวาง/ลบจุด

ตาราง

หาค่าของฟังก์ชัน

นับจำนวนฟังก์ชัน |A| = 3, |B| = 3

เช็กความเข้าใจ

บทเรียนอื่นในหมวดฟังก์ชัน

โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันพหุนาม

ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด