วงกลมหนึ่งหน่วย ไซน์และโคไซน์

วงกลมหนึ่งหน่วยคืออะไร

วงกลมหนึ่งหน่วยคือวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (0, 0) และรัศมี 1 หน่วย เมื่อหมุนรัศมีทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x ทางขวาไปเป็นมุม θ ปลายรัศมีจะอยู่ที่จุด P(cos θ, sin θ) นั่นคือ พิกัด x ของจุดคือ cos θ และพิกัด y ของจุดคือ sin θ

ตัวอย่าง

ที่มุม 90° ปลายรัศมีอยู่ที่ (0, 1) จึงได้ cos 90° = 0 และ sin 90° = 1 ที่มุม 180° ปลายรัศมีอยู่ที่ (−1, 0) จึงได้ cos 180° = −1 และ sin 180° = 0

มุมพิเศษและค่าที่ควรจำ

มุม 30° 45° 60° มีค่าไซน์เป็น $\frac{1}{2}$ , $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ตามลำดับ และค่าโคไซน์เป็น $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\frac{1}{2}$ ตามลำดับ เมื่อติ๊ก "มุมพิเศษ" ในห้องทดลอง จุดจะหยุดเฉพาะมุมเหล่านี้ และแสดงค่าแม่นยำเป็นเศษส่วนหรือรากที่สอง สัญลักษณ์ของ sin และ cos ขึ้นกับจตุภาคที่จุดอยู่

ตัวอย่าง

sin 150° อยู่จตุภาคที่ 2 ค่า y เป็นบวก มีมุมอ้างอิง 30° จึงได้ sin 150° = $\frac{1}{2}$ ส่วน cos 150° ค่า x เป็นลบ จึงได้ cos 150° = − $\frac{\sqrt{3}}{2}$

องศากับเรเดียน

หมุนครบรอบเท่ากับ 360° หรือ 2π เรเดียน ดังนั้น 180° เท่ากับ π เรเดียน การแปลงจากองศาเป็นเรเดียนให้คูณด้วย $\frac{π}{180}$ ส่วนการแปลงจากเรเดียนเป็นองศาให้คูณด้วย $\frac{180}{π}$ ห้องทดลองสลับหน่วยได้ทันทีและแสดงมุมเรเดียนเป็นพหุคูณของ π

ตัวอย่าง

30° = 30 × $\frac{π}{180}$ = $\frac{π}{6}$ เรเดียน 45° = $\frac{π}{4}$ เรเดียน 60° = $\frac{π}{3}$ เรเดียน และ 270° = $\frac{3π}{2}$ เรเดียน

กราฟไซน์และโคไซน์จากวงกลม

ติ๊ก "วาดกราฟ" เพื่อดูค่า sin θ หรือ cos θ ที่เปลี่ยนไปตามมุม เส้นประเชื่อมจุดบนวงกลมกับจุดบนกราฟ กราฟเป็นคลื่นที่ซ้ำทุก 360° ค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 เสมอ กราฟไซน์เริ่มที่ 0 ส่วนกราฟโคไซน์เริ่มที่ 1

ตัวอย่าง

ที่ θ = 0° 90° 180° 270° 360° ค่า sin θ เป็น 0, 1, 0, −1, 0 และค่า cos θ เป็น 1, 0, −1, 0, 1

วงกลมหนึ่งหน่วยคู่กับกราฟ y = sin θ และ y = cos θ จาก 0° ถึง 360° ระบุจุดที่ 0°, 90°, 180°, 270°, 360° และตารางค่า sin เป็น 0, 1, 0, −1, 0 ส่วน cos เป็น 1, 0, −1, 0, 1 — ค่าไซน์และโคไซน์ที่มุม 0° ถึง 360° ทุก 90° กลายเป็นจุดสำคัญของกราฟทั้งสอง

ฝึกโจทย์และออกแบบโจทย์ส่งออกเป็นรูป

โหมด "ฝึกโจทย์" สุ่มมุมให้หาค่า sin หรือ cos พร้อมตรวจคำตอบ รับได้ทั้งเศษส่วน รากที่สอง และทศนิยม 2 ตำแหน่ง โหมด "ออกแบบโจทย์" ให้ครูตั้งมุม ซ่อนค่าตอบ พิมพ์โจทย์ แล้วกดปุ่ม "ซ่อนเครื่องมือ + บันทึกภาพ PNG" ได้รูปที่มีเฉพาะวงกลมและโจทย์ ไม่มีแผงเครื่องมือบัง นำไปวางในข้อสอบได้ทันที

ตัวอย่าง

ตั้งมุม 210° ซ่อนค่าไซน์ พิมพ์โจทย์ว่า "จงหาค่า sin 210°" แล้วบันทึกภาพ เฉลยคือ − $\frac{1}{2}$ เพราะอยู่จตุภาคที่ 3 และมุมอ้างอิงคือ 30°

ภาพโจทย์และเฉลย จงหาค่า sin 210° วงกลมหนึ่งหน่วยแสดงจุด (−0.866, −0.5) ที่มุม 210° มุมอ้างอิง 30° ในจตุภาคที่ 3 และเฉลย sin 210° = −sin 30° = −1/2 — ตัวอย่างโจทย์ที่ส่งออกเป็นรูป มุม 210° อยู่จตุภาคที่ 3 ค่า y เป็นลบ จึงได้ sin 210° = − $\frac{1}{2}$

ห้องทดลองวงกลมหนึ่งหน่วย

sin θ · cos θ · มุมพิเศษ · กราฟ

ลากจุดบนวงกลมเพื่อหมุน · ลากพื้นกราฟเพื่อเลื่อน · ล้อเมาส์เพื่อซูมกราฟ · ลากแถบระหว่างวงกลมกับกราฟเพื่อปรับขนาด

ฟังก์ชัน

หน่วยของมุม

มุม θ

มุมพิเศษ (ทวีคูณของ 30° และ 45°)

แสดงสามเหลี่ยมอ้างอิง แสดงกราฟ

การแสดงผลเพิ่มเติม

เส้นโยงค่าไปยังแกน/กราฟ ส่วนโค้งและป้ายมุม ตาราง ตัวเลขบนแกน สมการด้านบนกระดาน แสดงค่าของฟังก์ชันบนกระดาน

sin 30° =

\frac{1}{2}

ตำแหน่งบนวงกลม30°
จตุภาคที่ 1
มุมอ้างอิง30°
จุดบนวงกลม( $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\frac{1}{2}$ )
เครื่องหมายบวก

ลองคิดดู

ลากจุดไปทีละ 90° จุดอยู่ที่ (1, 0), (0, 1), (−1, 0), (0, −1) ค่า sin และ cos ที่ได้เป็นเท่าใด?

บันทึกเป็นรูปภาพ (ไม่มีแผงเครื่องมือบัง)

วงกลมหนึ่งหน่วยคืออะไร

มุมพิเศษและค่าที่ควรจำ

องศากับเรเดียน

กราฟไซน์และโคไซน์จากวงกลม

ฝึกโจทย์และออกแบบโจทย์ส่งออกเป็นรูป

เช็กความเข้าใจ

บทเรียนอื่นในหมวดตรีโกณมิติ

อัตราส่วนตรีโกณมิติ ข้าม ชิด ฉาก

ตรีโกณมิติ หาค่าด้วยมือซ้าย

ฟังก์ชันตรีโกณมิติบนวงกลมหนึ่งหน่วย