ม.ต้น · 20 นาที

อัตราส่วนตรีโกณมิติ ข้าม ชิด ฉาก

โดย ทีมงาน Math Zom · เผยแพร่ 8 ตุลาคม 2569

เรียนรู้ sin cos tan จากสามเหลี่ยมมุมฉาก 3–4–5 เปลี่ยนมุมที่พิจารณาและทดลองขยายรูป พร้อมบอร์ดสำรวจและโจทย์ฝึก

ภาพปกอัตราส่วนตรีโกณมิติ พร้อมครู สูตร sin cos tan และสามเหลี่ยมมุมฉากแสดงด้านข้าม ด้านชิด และด้านฉาก

เป้าหมายและพื้นฐานสำหรับ ม.3

เมื่อจบบทเรียน จะระบุด้านข้าม ด้านชิด และด้านตรงข้ามมุมฉากของมุมที่เลือก คำนวณ sin cos tan และอธิบายได้ว่าทำไมขยายสามเหลี่ยมโดยคงมุมเดิมแล้วอัตราส่วนไม่เปลี่ยน ควรรู้การหาร การลดรูปเศษส่วน มุมฉาก และทฤษฎีบทพีทาโกรัสก่อนเริ่ม

ตัวอย่าง

รูปที่มีด้าน 3, 4, 5 เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก เพราะ 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²

สามเหลี่ยมมุมฉากด้านยาว 3, 4, 5 และการตรวจด้วยทฤษฎีบทพีทาโกรัส 3² + 4² = 25 = 5² — ตัวอย่าง 1: ด้าน 3, 4, 5 สร้างเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากได้ เพราะ 3² + 4² = 5²

เลือกมุมก่อนเรียกชื่อด้าน

θ อ่านว่า ทีตา แทนมุมแหลมที่พิจารณา (มากกว่า 0° แต่น้อยกว่า 90°) ด้านข้ามอยู่ตรงข้าม θ ด้านชิดติดกับ θ แต่ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก ส่วนด้านตรงข้ามมุมฉากอยู่ตรงข้ามมุม 90° และยาวที่สุด คำย่อ “ฉาก” ในสูตรหมายถึงด้านนี้

ตัวอย่าง

sin θ = $\frac{ข้าม}{ฉาก}$ · cos θ = $\frac{ชิด}{ฉาก}$ · tan θ = $\frac{ข้าม}{ชิด}$ ความยาวต้องใช้หน่วยเดียวกัน อัตราส่วนจึงไม่มีหน่วย ในภาพนี้ θ อยู่ที่ A ซ้ายล่าง ซึ่งต่างจากชื่อจุดในภาพเปรียบเทียบถัดไป

นิยาม sin θ = a/c, cos θ = b/c และ tan θ = a/b โดย a เป็นด้านข้าม b เป็นด้านชิด c เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก — จำ sin = $\frac{ข้าม}{ฉาก}$ , cos = $\frac{ชิด}{ฉาก}$ , tan = $\frac{ข้าม}{ชิด}$ โดยอ้างอิงมุม θ ที่ A ซ้ายล่าง: ด้านข้ามสีมิ้นต์ ด้านชิดสีฟ้า และด้านฉากสีชมพู

ตัวอย่างทีละขั้น: สามเหลี่ยม 3–4–5

ขั้นที่ 1 เลือก θ ที่ซ้ายล่าง ขั้นที่ 2 ระบุด้านข้าม = 3 ด้านชิด = 4 และด้านตรงข้ามมุมฉาก = 5 ขั้นที่ 3 แทนความยาวในสูตร จึงได้ sin θ = $\frac{3}{5}$ , cos θ = $\frac{4}{5}$ และ tan θ = $\frac{3}{4}$

ตัวอย่าง

ตรวจย้อนกลับ: ${(\frac{3}{5})}^{2}$ + ${(\frac{4}{5})}^{2}$ = $\frac{9}{25}$ + $\frac{16}{25}$ = 1 และ $(\frac{3}{5})$ ÷ $(\frac{4}{5})$ = $\frac{3}{4}$ ตรงกับ tan θ

สามเหลี่ยมด้านข้าม 3 ด้านชิด 4 ด้านตรงข้ามมุมฉาก 5 พร้อม sin θ = 3/5 cos θ = 4/5 tan θ = 3/4 — เลือกมุม θ ที่ซ้ายล่าง ระบุด้านข้าม = 3 ด้านชิด = 4 และด้านฉาก = 5 แล้วแทนค่าลงในสูตร

เปลี่ยนมุม ด้านข้ามกับด้านชิดสลับกัน

ภาพนี้กำหนด A ที่ยอดบน B ที่ซ้ายล่าง และ C ที่มุมฉาก สำหรับมุม A ด้านข้าม = 4 ด้านชิด = 3 จึงได้ sin A = $\frac{4}{5}$ , cos A = $\frac{3}{5}$ , tan A = $\frac{4}{3}$ เมื่อเปลี่ยนเป็นมุม B ด้านข้าม = 3 ด้านชิด = 4 ส่วนด้านตรงข้ามมุมฉากยังเป็น 5

ตัวอย่าง

เติมช่องว่างในภาพ: cos B = $\frac{4}{5}$ และ tan B = $\frac{3}{4}$ สังเกต sin A = cos B เพราะ A + B = 90° อย่าจำว่าด้านตั้งเป็นด้านข้ามเสมอ ต้องดูมุมที่เลือกก่อน

รูป 3–4–5 มี A ที่ยอดบน B ที่ซ้ายล่าง C มุมฉาก แสดง sin A 4/5 cos A 3/5 tan A 4/3 และ sin B 3/5 พร้อมช่องว่างให้หา cos B และ tan B — เมื่อเปลี่ยนจากมุม A เป็นมุม B ด้านข้ามและด้านชิดสลับกัน ลองเติม cos B และ tan B บอร์ดด้านล่างใช้ตำแหน่งจุด A B C แบบเดียวกับภาพนี้

ขยายรูป แต่คงมุมเดิม

เมื่อขยายทุกด้านด้วยตัวคูณเดียวกัน รูปใหม่คล้ายกับรูปเดิม มุมจึงเท่าเดิม และตัวคูณตัดกันเมื่อหารด้านสองด้าน แต่ถ้าเปลี่ยนมุมแหลม อัตราส่วนจะเปลี่ยน มุม B เพิ่มทำให้ sin B และ tan B เพิ่ม ส่วน cos B ลด

ตัวอย่าง

ขยาย 3–4–5 เป็น 6–8–10: sin B = $\frac{6}{10}$ = $\frac{3}{5}$ , cos B = $\frac{8}{10}$ = $\frac{4}{5}$ , tan B = $\frac{6}{8}$ = $\frac{3}{4}$ ค่าทั้งสามคงเดิม

ลองทาย → ปรับค่า → สังเกต → อธิบาย

เปลี่ยนมุม เปลี่ยนขนาด อัตราส่วนเปลี่ยนไหม?

ลองทายก่อน: ถ้าขยายรูปเป็นสองเท่า ค่า sin, cos, tan จะเพิ่มเป็นสองเท่าด้วยหรือไม่?

ม่วง: ข้าม ACเขียว: ชิด BCส้ม: ฉาก AB

วาดตามสัดส่วนจริง หน่วยความยาวสมมติ · ตัวเลขทศนิยมเป็นค่าประมาณ 3 ตำแหน่ง

เลือกมุมที่พิจารณา

มุม B = 36.87° (5°–85°)

เลื่อนมุม B แล้วมุม A จะเป็น 90° − B เสมอ

ด้านตรงข้ามมุมฉาก AB = 5 หน่วย (2–10)

sin B = $\frac{ข้าม}{ฉาก}$

sin B ≈ \frac{3}{5} ≈ 0.6

cos B = $\frac{ชิด}{ฉาก}$

cos B ≈ \frac{4}{5} ≈ 0.8

tan B = $\frac{ข้าม}{ชิด}$

tan B ≈ \frac{3}{4} ≈ 0.75

กำลังพิจารณามุม B ≈ 36.87° ด้านข้ามคือ AC ด้านชิดคือ BC และด้านตรงข้ามมุมฉากยังเป็น AB

กดรูป 3–4–5 แล้วกดขยายเป็น 6–8–10 สังเกตความยาวและอัตราส่วน: ทุกด้านเพิ่มเป็นสองเท่า แต่อัตราส่วนคงเดิม
คงขนาด AB แล้วเพิ่มมุม B: ด้านข้าม B ยาวขึ้น sin B และ tan B เพิ่ม ส่วน cos B ลด
สลับมุม B เป็น A: ด้านข้ามกับด้านชิดสลับกัน ลองอธิบายว่าทำไม sin A จึงเท่ากับ cos B

บอร์ดใช้เฉพาะมุมแหลมเพื่อให้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่ไม่เสื่อม หาก B = 0° หรือ 90° รูปจะเสื่อม และ tan 90° ไม่กำหนดเพราะด้านชิดเป็นศูนย์

แบบทดสอบท้ายบท · ไม่จับเวลา · ทำใหม่ได้

ทดสอบอัตราส่วนตรีโกณมิติจากรูปสามเหลี่ยม

15 ข้อไม่จำกัดเวลา4 ตัวเลือกข้อละ 1 คะแนน

กติกา

สุ่มจากคำถาม sin, cos และ tan ของรูปสามเหลี่ยม 5 รูป รวมคลัง 15 คำถาม แต่ละรอบอาจพบโจทย์ซ้ำและไม่ได้พบครบทุกภาพ เลือกคำตอบแล้วกดข้อถัดไป ข้ามได้ ย้อนกลับไม่ได้ เฉลยเมื่อจบครบ 15 ข้อ

บันทึกคำตอบอัตโนมัติ รีเฟรชหรือปิดหน้าแล้วกลับมาทำต่อได้ เมื่อจบรอบสามารถเริ่มรอบใหม่ได้ โดยรอบใหม่จะแทนที่ผลเดิม

กำลังตรวจสอบรอบแบบทดสอบ…