พื้นที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
ห้องทดลองหาพื้นที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งกับแกน X หรือเส้นโค้งสองเส้น พิมพ์สัมประสิทธิ์ได้ถึง −99 ถึง 99 ทั้งกำลังหนึ่ง สอง และสาม ลากขอบเขต a, b แบ่งพื้นที่ตามจุดตัด ดูวิธีทำเป็นเศษส่วนแท้ เปรียบเทียบค่าอินทิกรัลกับพื้นที่ ผลรวมรีมันน์ พร้อมฝึกโจทย์ ออกแบบภาพข้อสอบ และสุ่มชุดข้อสอบพร้อมเฉลย
พื้นที่ใต้เส้นโค้งคืออินทิกรัลจำกัดเขต
ถ้า f(x) ≥ 0 ทุกค่า x ในช่วง [a, b] พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = f(x) แกน X และเส้นตรง x = a กับ x = b คือ A = ∫f(x)dx จาก a ถึง b ในห้องทดลอง เลือก “เส้นโค้งกับแกน X” แล้วลากจุดสีทองบนแกน x เพื่อดูพื้นที่ที่เปลี่ยนไป
f(x) = x² + 4 ช่วง x จาก −2 ถึง 2 ได้ H(x) = x³/3 + 4x ดังนั้น A = H(2) − H(−2) = 56/3 ≈ 18.67
![เมื่อ f(x) ≥ 0 บนช่วง [a, b] พื้นที่ใต้เส้นโค้งคือ A = ∫ f(x) dx จาก a ถึง b ตัวอย่าง f(x) = x² + 4 ช่วง −2 ≤ x ≤ 2 ได้ H(x) = x³/3 + 4x และ A = H(2) − H(−2) = 56/3 ≈ 18.67 ตารางหน่วย พร้อมกราฟแรเงาพื้นที่](/images/lessons/figure-area-between-curves-area-under-curve.jpg)
เมื่อกราฟอยู่ใต้แกน X ต้องแยกช่วง
ค่าอินทิกรัลจะเป็นลบเมื่อกราฟอยู่ใต้แกน X แต่พื้นที่ต้องไม่ติดลบ จึงต้องหาจุดที่ f(x) = 0 แบ่งช่วง อินทิเกรตทีละช่วง แล้วนำค่าสัมบูรณ์ของแต่ละช่วงมารวมกัน ห้องทดลองระบายช่วงที่กราฟอยู่เหนือเป็นสีเขียว ช่วงที่อยู่ใต้เป็นสีส้ม และตั้งป้าย A₁, A₂, … ให้อัตโนมัติ
f(x) = −x² + 4 ช่วง −3 ถึง 3 ตัดแกน X ที่ x = −2 และ 2 ได้ A₁ = 7/3, A₂ = 32/3, A₃ = 7/3 รวม A = 46/3 ≈ 15.33 แต่ ∫f(x)dx = 6 เพราะส่วนใต้แกนหักลบออก
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้น
พื้นที่ระหว่าง y = f(x) และ y = g(x) ในช่วง [a, b] คือ A = ∫|f(x) − g(x)|dx ให้ h(x) = f(x) − g(x) หาจุดที่ h(x) = 0 เพื่อแบ่งช่วงตามจุดที่เส้นโค้งตัดกัน แล้วรวมค่าสัมบูรณ์ของแต่ละช่วง เลือก “เส้นโค้งกับเส้นโค้ง” ในห้องทดลองเพื่อกรอก y₁ และ y₂
y₁ = x + 2 และ y₂ = x² ตัดกันที่ x = −1 และ 2 h(x) = −x² + x + 2 ได้ A = ∫(−x² + x + 2)dx จาก −1 ถึง 2 = 9/2
พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยจุดตัด
บางโจทย์ไม่บอกช่วง บอกแค่ว่าปิดล้อมด้วยกราฟสองเส้น ให้ตั้ง f(x) = g(x) แก้สมการหาจุดตัดทั้งหมด ซ้ายสุดคือ a ขวาสุดคือ b ปุ่ม “ขอบเขต = จุดตัดซ้ายสุดและขวาสุด” ในห้องทดลองตั้งค่าให้ทันที และดูวิธีหา A ได้ในแท็บ “วิธีทำ”
y = x² + 1 และ y = 2x + 1 ตั้ง x² + 1 = 2x + 1 ได้ x = 0 หรือ 2 ดังนั้น A = ∫(2x − x²)dx จาก 0 ถึง 2 = 4/3
ผลรวมรีมันน์ ที่มาของอินทิกรัล
แบ่งช่วง [a, b] เป็น n แถบเท่า ๆ กัน คิดพื้นที่แต่ละแถบเป็นสี่เหลี่ยมที่ความสูงเท่าค่าของฟังก์ชัน ณ ซ้าย ขวา หรือกึ่งกลางของแถบ หรือใช้สี่เหลี่ยมคางหมู แล้วบวกกัน เมื่อ n มากขึ้น ผลรวมเข้าใกล้ค่าอินทิกรัลจริง เปิด “แสดงผลรวมรีมันน์” ในโหมดสำรวจ แล้วเลื่อนจำนวนแถบตั้งแต่ 1 ถึง 200
f(x) = x² ช่วง 0 ถึง 2 ค่าจริง 8/3 ≈ 2.667 ใช้วิธีกึ่งกลางที่ n = 4 ได้ประมาณ 2.625 และ n = 20 ได้ประมาณ 2.665
![นิยามผลรวมรีมันน์ Δx = (b − a)/n และ Rₙ = Σ f(xᵢ*) Δx ซึ่งเข้าใกล้อินทิกรัลเมื่อ n → ∞ พร้อมวิธีเลือกจุดซ้าย ขวา และกึ่งกลาง ตัวอย่าง f(x) = x² บน [0, 2] ค่าจริง 8/3 ≈ 2.667 วิธีกึ่งกลาง n = 4 ได้ 2.625 และ n = 20 ได้ 2.665](/images/lessons/figure-area-between-curves-riemann-sum.jpg)
ฝึกโจทย์และออกข้อสอบ
โหมดฝึกโจทย์สุ่มโจทย์สี่ประเภท คือพื้นที่กับแกน X พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้น พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยจุดตัด และค่าอินทิกรัล ตอบเป็นเศษส่วนหรือทศนิยมได้ โหมดออกแบบโจทย์ให้พิมพ์ข้อความโจทย์ เลือกซ่อนหรือเว้นว่างขอบเขตและค่าพื้นที่ แล้วบันทึก PNG ที่ไม่มีแผงเครื่องมือ โหมดชุดข้อสอบสุ่มโจทย์พร้อมเฉลยให้คัดลอกเป็นข้อความ หรือส่งไปออกแบบเป็นภาพได้
ตั้ง y₁ = x + 2 และ y₂ = x² เลือกชุดแสดงผล “ปิดล้อมด้วยจุดตัด” พิมพ์โจทย์ “จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟทั้งสอง” แล้วบันทึกภาพ จะได้ภาพข้อสอบที่เว้นช่อง A ให้นักเรียนเติมเอง
ห้องทดลองพื้นที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
ปรับกราฟ แบ่งช่วง คำนวณ ฝึก ออกข้อสอบ และบันทึกภาพลากจุดสีทองบนแกน x เพื่อเลื่อนขอบเขต a, b · ล้อเมาส์ซูม · ลากพื้นหลังเพื่อเลื่อน
