m·math zom
เริ่มเรียน
ม.ปลาย · 35 นาที

ผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์

โดย ทีมงาน Math Zom · เผยแพร่

ลากปลายเวกเตอร์สองเส้นบนระนาบพิกัด แล้วหาองค์ประกอบ ขนาด มุมระหว่างเวกเตอร์ และผลคูณเชิงสเกลาร์ u · v กรอกคำตอบทีละช่อง กดตรวจ ดูคำใบ้สูตร มีโหมดออกแบบโจทย์สำหรับครูและบันทึกรูปที่ไม่มีเครื่องมือบังเพื่อใช้ทำข้อสอบ

ปกบทเรียนผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์ มีเวกเตอร์ u = (a, b) และ v = (c, d) เริ่มจากจุดเดียวกันทำมุม θ พร้อมสูตร u · v = ac + bd และครูชี้ไปที่ภาพ

หาองค์ประกอบของเวกเตอร์

เวกเตอร์ที่เริ่มที่จุด (x₁, y₁) และสิ้นสุดที่จุด (x₂, y₂) มีองค์ประกอบ (x₂ − x₁, y₂ − y₁) ปุ่ม "รวมเวกเตอร์" ในห้องทดลองย้ายจุดเริ่มต้นไปที่จุดกำเนิดโดยไม่เปลี่ยนองค์ประกอบ

ตัวอย่าง

u เริ่มที่ (−4, −3) สิ้นสุดที่ (−10, 8) ได้ u = (−10 − (−4), 8 − (−3)) = (−6, 11)

เวกเตอร์จากจุด A(−4, −3) ไป B(−10, 8) มีระยะ Δx = −6 และ Δy = 11 สูตร AB = (x₂ − x₁, y₂ − y₁) คำนวณได้ (−6, 11) และเวกเตอร์ OC = (−6, 11) ที่ย้ายจุดเริ่มไปจุดกำเนิด
ลบพิกัดจุดเริ่มออกจากจุดปลาย (−10 − (−4), 8 − (−3)) ได้องค์ประกอบ (−6, 11)

ขนาดของเวกเตอร์

ขนาดของ (a, b) คือ a² + b² ซึ่งเป็นความยาวของลูกศร

ตัวอย่าง

|(3, 4)| = 9 + 16 = 5 และ |(−6, 11)| = 36 + 121 = 157 ≈ 12.5

สูตร |(a, b)| = √(a² + b²) สามเหลี่ยมมุมฉาก O(0, 0), H(3, 0), P(3, 4) มีด้าน 3, 4, 5 ได้ |(3, 4)| = 5 และตัวอย่างที่ 2 |(−6, 11)| = √157 ≈ 12.5
ขนาดของเวกเตอร์หาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส |(3, 4)| = 5 และ |(−6, 11)| ≈ 12.5

ผลคูณเชิงสเกลาร์

ผลคูณเชิงสเกลาร์ของ (a, b) และ (c, d) คือ a·c + b·d ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง ไม่ใช่เวกเตอร์ ใช้ได้เท่ากับ |u||v| cos θ เมื่อ θ คือมุมระหว่างเวกเตอร์เมื่อวางจุดเริ่มต้นร่วมกัน

ตัวอย่าง

u = (3, 2) และ v = (1, 4) ได้ u · v = 3×1 + 2×4 = 11

สูตร u · v = ac + bd และ u · v = |u||v| cos θ เวกเตอร์ u(3, 2) และ v(1, 4) เริ่มจากจุด O ทำมุม θ และตัวอย่าง u · v = 3×1 + 2×4 = 3 + 8 = 11
คูณองค์ประกอบที่ตรงกันแล้วบวกกัน u · v = 3×1 + 2×4 = 11 ได้ผลเป็นจำนวนจริง

มุมระหว่างเวกเตอร์

จากสูตร u · v = |u||v| cos θ จะได้ cos θ = (u · v) ÷ (|u||v|) แล้วใช้ cos⁻¹ หามุม ถ้า u · v เป็นบวกมุมเป็นมุมแหลม ถ้าเป็นลบเป็นมุมป้าน และถ้าเป็นศูนย์เวกเตอร์ตั้งฉากกัน ถ้าเวกเตอร์ใดเป็นเวกเตอร์ศูนย์จะไม่นิยามมุม

ตัวอย่าง

u = (1, 0) และ v = (1, 1) ได้ u · v = 1, |u| = 1, |v| = 2 จึง cos θ = 12 และ θ = 45°

สูตร cos θ = u · v / (|u||v|) สามกรณี u · v > 0 มุมแหลม u · v = 0 ตั้งฉาก u · v < 0 มุมป้าน และตัวอย่าง u = (1, 0), v = (1, 1) ได้ cos θ = 1/√2 และ θ = 45°
u · v = 1, |u| = 1, |v| = 2 จึงได้ cos θ = 12 และ θ = 45°

ฝึกโจทย์และบันทึกรูปไปทำข้อสอบ

โหมดฝึกโจทย์สุ่มเวกเตอร์ให้กรอก องค์ประกอบ ขนาด มุม และผลคูณเชิงสเกลาร์ ปัดทศนิยม 1 ตำแหน่ง แล้วกดตรวจ โหมดออกแบบโจทย์ให้ครูกำหนดเวกเตอร์เอง ซ่อนคำตอบ และกด "ซ่อนเครื่องมือ + บันทึกภาพ PNG" ได้รูปที่มีเฉพาะกราฟ

ตัวอย่าง

ตั้ง u = (2, −1) และ v = (1, 2) ได้ u · v = 2×1 + (−1)×2 = 0 แสดงว่าเวกเตอร์ตั้งฉากกัน (θ = 90°)

ตัวอย่างโจทย์ u = (2, −1) และ v = (1, 2) ลูกศรจากจุด O ทำมุมฉากกัน คำนวณ u · v = 2×1 + (−1)×2 = 0 สรุปว่าตั้งฉากกัน θ = 90° พร้อมกรอบโหมดฝึกโจทย์และโหมดออกแบบโจทย์
ผลคูณเชิงสเกลาร์เป็น 0 แสดงว่า u = (2, −1) ตั้งฉากกับ v = (1, 2)

ห้องทดลองผลคูณเชิงสเกลาร์

องค์ประกอบ · ขนาด · มุมระหว่างเวกเตอร์ · u · v
xy−12−11−10−9−8−7−6−5−4−3−2−11234567891011121314−7−6−5−4−3−2−1123456789Ouv

ลากวงกลมที่ปลายเวกเตอร์ หรือกดลูกศรเมื่อเลือกจุด · ลากพื้นหลังเพื่อเลื่อน · ล้อเมาส์เพื่อซูม

ลองคิดด้วยตัวเอง

เช็กความเข้าใจ

ถ้า u = (2, 5) และ v = (−3, 1) แล้ว u · v เท่ากับเท่าใด
การ์ดบทเรียนการบวกและการลบเวกเตอร์ มีลูกศร u และ v จากจุดเดียวกัน เส้นประปิดเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน และเส้นทแยงมุม u + v
ม.ปลายเวกเตอร์30 นาที

การบวกและการลบเวกเตอร์

ลากปลายเวกเตอร์ u และ v บนระนาบพิกัด แล้วดูผลบวก u + v ผลลบ u − v และ v − u พร้อมรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน วิธีหัวต่อหาง และขั้นตอนคำนวณเป็นพิกัด มีโหมดฝึกโจทย์ตรวจคำตอบอัตโนมัติ และโหมดออกแบบโจทย์เพื่อบันทึกเป็นรูปภาพสำหรับข้อสอบ

เริ่มเรียน
← กลับไปเลือกบทเรียน