ม.ปลาย · 30 นาที

การบวกและการลบเวกเตอร์

โดย ทีมงาน Math Zom · เผยแพร่ 18 ตุลาคม 2569

ลากปลายเวกเตอร์ u และ v บนระนาบพิกัด แล้วดูผลบวก u + v ผลลบ u − v และ v − u พร้อมรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน วิธีหัวต่อหาง และขั้นตอนคำนวณเป็นพิกัด มีโหมดฝึกโจทย์ตรวจคำตอบอัตโนมัติ และโหมดออกแบบโจทย์เพื่อบันทึกเป็นรูปภาพสำหรับข้อสอบ

ปกบทเรียนการบวกและการลบเวกเตอร์ มีเวกเตอร์ u และ v จากจุดเริ่มเดียวกันประกอบเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน และเส้นทแยงมุม u + v โดยครูใช้ไม้ชี้ไปที่ผลบวก

เวกเตอร์ในรูปองค์ประกอบ

เวกเตอร์คือปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง เขียนแทนด้วยลูกศร ถ้าเวกเตอร์เริ่มที่จุดกำเนิดและชี้ไปที่ (a, b) จะเขียนว่า (a, b) โดย a คือองค์ประกอบทางแกน x และ b คือองค์ประกอบทางแกน y

ตัวอย่าง

u = (−3, 6) หมายถึงเลื่อนไปทางซ้าย 3 หน่วยและขึ้น 6 หน่วย ส่วน v = (6, 2) คือเลื่อนไปทางขวา 6 หน่วยและขึ้น 2 หน่วย

ระนาบพิกัดแสดงเวกเตอร์ u = (−3, 6) และ v = (6, 2) จากจุดกำเนิด O(0, 0) พร้อมเส้นประองค์ประกอบแนวนอนและแนวตั้ง และกรอบอธิบาย u ไปซ้าย 3 ขึ้น 6 ส่วน v ไปขวา 6 ขึ้น 2 — u = (−3, 6) คือซ้าย 3 หน่วยขึ้น 6 หน่วย และ v = (6, 2) คือขวา 6 หน่วยขึ้น 2 หน่วย

การบวกเวกเตอร์

การบวกเวกเตอร์ทำได้โดยบวกองค์ประกอบที่ตรงกัน (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ในรูปเรขาคณิต เมื่อติ๊ก "แสดงสี่เหลี่ยมด้านขนาน" เวกเตอร์ผลบวกคือเส้นทแยงมุมที่เริ่มจากจุดเริ่มต้นร่วม หรือใช้วิธีหัวต่อหางโดยวางหางของ v ที่หัวของ u

ตัวอย่าง

u + v = (−3, 6) + (6, 2) = (−3 + 6, 6 + 2) = (3, 8)

ระนาบพิกัดแสดงเวกเตอร์ u ไปจุด U(−3, 6) v ไปจุด V(6, 2) และผลบวก u + v ไปจุด S(3, 8) ประกอบเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน พร้อมกฎ (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) — บวกองค์ประกอบทีละตัว (−3 + 6, 6 + 2) = (3, 8) ซึ่งเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การลบเวกเตอร์

u − v คือ u + (−v) เมื่อ −v มีขนาดเท่า v แต่ทิศตรงข้าม ในรูปองค์ประกอบ (a, b) − (c, d) = (a − c, b − d) ลำดับสำคัญ เพราะ v − u เป็นเวกเตอร์ที่ทิศตรงข้ามกับ u − v

ตัวอย่าง

u − v = (−3 − 6, 6 − 2) = (−9, 4) และ v − u = (6 − (−3), 2 − 6) = (9, −4)

กราฟสองชุดแสดง u − v = (−9, 4) เป็นลูกศรจาก V(6, 2) ไป U(−3, 6) และ v − u = (9, −4) เป็นลูกศรจาก U ไป V พร้อมการคำนวณ ความสัมพันธ์ u − v = −(v − u) และเวกเตอร์ −v = (−6, −2) — u − v = (−9, 4) และ v − u = (9, −4) มีขนาดเท่ากันแต่ทิศตรงข้าม

ขนาดของเวกเตอร์

ขนาดของเวกเตอร์ (a, b) หาได้จาก $\sqrt{a² + b²}$ ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ขนาดของผลบวกไม่จำเป็นต้องเท่ากับผลบวกของขนาด

ตัวอย่าง

u + v = (3, 8) มีขนาด $\sqrt{3² + 8²}$ = $\sqrt{73}$ ≈ 8.54 ขณะที่ |u| = $\sqrt{45}$ ≈ 6.71 และ |v| = $\sqrt{40}$ ≈ 6.32

สูตร |(a, b)| = √(a² + b²) กราฟเวกเตอร์ u + v = (3, 8) จาก O ไปจุด P(3, 8) มีขนาด √73 และการคำนวณ |u| = √45 ≈ 6.71, |v| = √40 ≈ 6.32, |u + v| = √73 ≈ 8.54 ซึ่ง 8.54 ≠ 6.71 + 6.32 — ขนาดของผลบวก $\sqrt{73}$ ≈ 8.54 ไม่เท่ากับผลบวกของขนาด 6.71 + 6.32

ฝึกโจทย์และบันทึกรูปไปทำข้อสอบ

โหมดฝึกโจทย์สุ่มเวกเตอร์ให้หาองค์ประกอบหรือขนาดของผลลัพธ์ และตรวจคำตอบทันที โหมดออกแบบโจทย์ให้ครูตั้งค่า u และ v เอง เลือกซ่อนเวกเตอร์ผลลัพธ์หรือขั้นตอนคำนวณ แล้วกด "ซ่อนเครื่องมือ + บันทึกภาพ PNG" ได้รูปที่ไม่มีแผงเครื่องมือหรือจุดจับลาก

ตัวอย่าง

ตั้ง u = (2, 3), v = (4, −1) ซ่อนผลลัพธ์ แล้วถามว่า "จงหา u + v" เฉลยคือ (6, 2)

ภาพโจทย์และเฉลย กำหนด u = (2, 3) และ v = (4, −1) จงหา u + v ด้านโจทย์ซ่อนคำตอบ ด้านเฉลยแสดงลูกศร u + v ไปจุด (6, 2) และการคำนวณ (2 + 4, 3 + (−1)) = (6, 2) — ตัวอย่างภาพโจทย์ซ่อนผลลัพธ์และภาพเฉลย u + v = (6, 2)

ลองคิดด้วยตัวเอง

เช็กความเข้าใจ

ถ้า u = (1, 4) และ v = (3, −2) แล้ว u − v เท่ากับข้อใด

(4, 2)

(−2, 6)

(2, −6)

(−4, −2)

← กลับไปเลือกบทเรียน

เวกเตอร์ในรูปองค์ประกอบ

การบวกเวกเตอร์

การลบเวกเตอร์

ขนาดของเวกเตอร์

ฝึกโจทย์และบันทึกรูปไปทำข้อสอบ

เช็กความเข้าใจ

บทเรียนอื่นในหมวดเวกเตอร์

ผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์