ลิมิตของลำดับ
ดูพจน์ aₙ ของลำดับเป็นจุดบนกราฟ แล้วสังเกตว่าเมื่อ n มากขึ้นค่าเข้าใกล้ค่าใด ปรับพารามิเตอร์ของลำดับ 9 แบบ ตั้งความใกล้ ε เพื่อหา N ที่น้อยที่สุด ดูตารางเมื่อ n ใหญ่มาก ขั้นตอนหาลิมิต มีโหมดฝึกโจทย์และโหมดสร้างชุดข้อสอบพร้อมเฉลย
ลำดับลู่เข้าและลำดับลู่ออก
ลำดับคือรายการของจำนวน a₁, a₂, a₃, … เรียงตามลำดับของ n ถ้าเมื่อ n มากขึ้นเรื่อย ๆ ค่า aₙ เข้าใกล้จำนวนจริง L เพียงค่าเดียว เรียกว่าลำดับลู่เข้าสู่ L และเขียนว่า lim aₙ = L ถ้าไม่มีจำนวนจริงเช่นนั้น เรียกว่าลำดับลู่ออก ซึ่งเกิดได้สองแบบ คือค่าเพิ่มหรือลดโดยไม่มีขอบเขต หรือค่าแกว่งไปมาโดยไม่เข้าใกล้ค่าใด
aₙ = 1/n มีพจน์ 1, 1/2, 1/3, … เข้าใกล้ 0 จึงลู่เข้าสู่ 0 ส่วน aₙ = 2n มีพจน์ 2, 4, 6, … เพิ่มไม่หยุด จึงลู่ออก และ aₙ = (−1)ⁿ สลับระหว่าง −1 กับ 1 จึงลู่ออกเช่นกัน
ลิมิตพื้นฐานที่ควรจำ
ลำดับค่าคงตัว aₙ = c ลู่เข้าสู่ c ลำดับ 1/n และ 1/nᵏ เมื่อ k > 0 ลู่เข้าสู่ 0 ลำดับเรขาคณิต rⁿ ลู่เข้าสู่ 0 เมื่อ |r| < 1 ลู่เข้าสู่ 1 เมื่อ r = 1 และลู่ออกเมื่อ r > 1 หรือ r ≤ −1 ส่วนลำดับเชิงเส้น an + b ลู่ออกเมื่อ a ไม่เท่ากับ 0
(1/2)ⁿ → 0 เพราะ |1/2| < 1 ส่วน 3ⁿ → ∞ เพราะ 3 > 1 และ (−2)ⁿ ค่าสลับเครื่องหมายขณะที่ขนาดเพิ่มขึ้นจึงลู่ออก
สมบัติของลิมิตของลำดับ
ถ้า lim aₙ = A และ lim bₙ = B ซึ่งเป็นจำนวนจริงทั้งคู่ จะได้ lim (aₙ + bₙ) = A + B, lim (aₙ − bₙ) = A − B, lim (c·aₙ) = cA, lim (aₙ·bₙ) = AB และ lim (aₙ / bₙ) = A / B เมื่อ B ไม่เท่ากับ 0 สมบัติเหล่านี้ใช้ได้เมื่อลิมิตแต่ละตัวมีค่าเท่านั้น
lim (2 + 3/n) = lim 2 + 3·lim (1/n) = 2 + 3·0 = 2
ลำดับตรรกยะ: หารด้วยกำลังสูงสุดของ n
สำหรับลำดับที่เป็นเศษส่วนของพหุนามใน n ให้หารตัวเศษและตัวส่วนด้วย n ยกกำลังสูงสุดที่ปรากฏ พจน์ที่เหลือจะ → 0 เมื่อกำลังของตัวเศษต่ำกว่าตัวส่วน ลิมิตเป็น 0 เมื่อกำลังเท่ากัน ลิมิตเป็นอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ และเมื่อกำลังของตัวเศษสูงกว่า ลำดับลู่ออก
lim (3n + 1)/(2n − 5) หารด้วย n ได้ (3 + 1/n)/(2 − 5/n) → 3/2 ส่วน lim (n² + 1)/(2n + 3) ตัวเศษมีกำลังสูงกว่า จึงลู่ออกไปสู่ ∞
ลำดับที่มีรากที่สอง: คูณด้วยสังยุค
เมื่อเจอผลต่างของรากที่สอง เช่น √(n + a) − √(n + b) ให้คูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุค (√(n + a) + √(n + b)) ผลต่างของกำลังสองจะทำให้รากหายไป แล้วจึงหารด้วย n หรือใช้ว่าตัวส่วนมากขึ้นไม่มีขอบเขต เพื่อหาลิมิต
lim (√(n² + 4n) − n) = lim 4n / (√(n² + 4n) + n) หารด้วย n ได้ 4 / (√(1 + 4/n) + 1) → 4/2 = 2
ทฤษฎีบทบีบ
ถ้า bₙ ≤ aₙ ≤ cₙ สำหรับ n ที่มากพอ และ lim bₙ = lim cₙ = L แล้ว lim aₙ = L ด้วย ใช้บ่อยกับพจน์ที่มี sin n, cos n หรือ (−1)ⁿ ซึ่งค่าอยู่ระหว่าง −1 กับ 1 เมื่อหารด้วย n จะถูกบีบให้เข้าหา 0
เพราะ −1 ≤ sin n ≤ 1 จึง −1/n ≤ sin n / n ≤ 1/n ทั้งสองข้าง → 0 ดังนั้น lim (sin n)/n = 0
นิยาม ε–N: ใกล้แค่ไหนและเริ่มตั้งแต่พจน์ใด
lim aₙ = L หมายความว่า สำหรับทุกค่า ε > 0 ที่เล็กเท่าใดก็ได้ จะมีจำนวนเต็ม N ที่ทำให้ |aₙ − L| < ε ทุกพจน์ที่ n ≥ N กล่าวคือตั้งแต่พจน์ที่ N เป็นต้นไป ทุกพจน์อยู่ในแถบกว้าง 2ε รอบเส้น y = L ยิ่งเลือก ε เล็ก N ก็ยิ่งต้องใหญ่ขึ้น
สำหรับ aₙ = 1/n และ ε = 0.01 ต้องมี 1/n < 0.01 หรือ n > 100 ดังนั้น N = 101 เป็นค่าน้อยที่สุด
วิธีใช้ห้องทดลอง
โหมดสำรวจเลือกลำดับได้ 9 แบบ พิมพ์หรือเลื่อนค่าพารามิเตอร์ เลือกพจน์ n ด้วยการคลิกที่กราฟหรือกดลูกศรซ้ายขวา ตั้งค่า ε เพื่อดูแถบและค่า N ที่น้อยที่สุด และดูตารางค่าเมื่อ n ใหญ่มาก โหมดฝึกโจทย์มี 4 ระดับ ถามลิมิต การลู่เข้าลู่ออก ค่าของพจน์ และ N จากค่า ε โหมดชุดข้อสอบให้ครูเลือกจำนวนข้อ ระดับ และเลขชุด แล้วคัดลอกหรือดาวน์โหลดพร้อมเฉลย
ลองเลือก "ลิมิตแบบ e" ตั้ง a = 1, b = 1 แล้วเพิ่ม nmax เป็น 200 ดูค่า aₙ ค่อย ๆ เข้าใกล้ e ≈ 2.7183 จากนั้นตั้ง ε = 0.01 เพื่อดูว่า N ต้องมากเท่าใด
ห้องทดลองลิมิตของลำดับ
ดูพจน์ aₙ เข้าใกล้ค่าหนึ่งเมื่อ n มากขึ้น และหา N จาก εคลิกที่กราฟเพื่อเลือกพจน์ · ← → เลื่อน n · ลากเพื่อเลื่อนกราฟ · ล้อเมาส์เพื่อซูม
