การแจกแจงทวินาม: B(n, p) และการคำนวณความน่าจะเป็น
ตั้งจำนวนครั้งที่ทดลอง n สูงสุด 100 และความน่าจะเป็นที่สำเร็จ p เป็นทศนิยม เศษส่วน หรือร้อยละ แล้วดูแผนภาพแท่ง P(X = x) ความน่าจะเป็นสะสม ต้นไม้ความน่าจะเป็น ค่าเฉลี่ย np ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ฐานนิยม และเส้นโค้งปกติ ทดลองสุ่มได้สูงสุด 10,000 ชุด ฝึกโจทย์ที่ตรวจคำตอบให้ และมีโหมดออกแบบโจทย์กับชุดข้อสอบพร้อมเฉลยสำหรับครู
การทดลองแบบทวินามคืออะไร
การทดลองแบบทวินามคือการทำสิ่งเดียวกันซ้ำ n ครั้ง โดยแต่ละครั้งมีผลเป็น "สำเร็จ" หรือ "ไม่สำเร็จ" อย่างใดอย่างหนึ่ง ความน่าจะเป็นที่สำเร็จคือ p ในทุกครั้งเท่ากัน และแต่ละครั้งไม่ขึ้นต่อกัน ให้ X เป็นจำนวนครั้งที่สำเร็จ จะเขียนว่า X ~ B(n, p)
โยนเหรียญที่เที่ยงตรง 5 ครั้ง นับจำนวนครั้งที่ออกหัว ได้ X ~ B(5, ) ส่วนการหยิบลูกบอลโดยไม่ใส่คืนไม่ใช่ทวินาม เพราะ p เปลี่ยนไปทุกครั้ง
สูตรความน่าจะเป็น P(X = x)
ความน่าจะเป็นที่สำเร็จพอดี x ครั้งคือ P(X = x) = {C:n,x} p^x q^(n−x) เมื่อ q = 1 − p ส่วน {C:n,x} คือจำนวนวิธีเลือกว่าครั้งไหนสำเร็จ ในแท็บ "วิธีคิด" ของห้องทดลองจะแสดงการแทนค่าทีละบรรทัด และมุมมองต้นไม้ช่วยให้เห็นที่มาของ {C:n,x} จากจำนวนเส้นทาง
ให้ X ~ B(5, 0.7) จะได้ P(X = 4) = {C:5,4} × 0.7^4 × 0.3 = 5 × 0.2401 × 0.3 = 0.36015 ≈ 0.3601
ตารางการแจกแจงและรูปร่างของกราฟ
เมื่อหาค่า P(X = x) ครบทุก x จาก 0 ถึง n ผลรวมต้องเท่ากับ 1 เสมอ ถ้า p มากกว่า 0.5 แท่งจะเอียงไปทางขวา ถ้า p น้อยกว่า 0.5 จะเอียงไปทางซ้าย และถ้า p เท่ากับ 0.5 กราฟจะสมมาตร ลองเลื่อน p ในห้องทดลองและใช้ "จำชุดนี้ไว้" เพื่อเทียบกับเส้นประของชุดเดิม
X ~ B(5, 0.7) ได้ P(X = 0) ถึง P(X = 5) เป็น 0.0024, 0.0284, 0.1323, 0.3087, 0.3601, 0.1681 ซึ่งรวมกันได้ 1 และแท่งสูงสุดอยู่ที่ x = 4
เหตุการณ์แบบ "อย่างน้อย" และ "ไม่เกิน"
โจทย์มักถามหลายค่าพร้อมกัน เช่น P(X ≥ a) หรือ P(a ≤ X ≤ b) ให้รวมความน่าจะเป็นของแต่ละค่า x ที่อยู่ในเหตุการณ์ หรือใช้ส่วนเติมเต็ม P(X ≥ a) = 1 − P(X ≤ a − 1) เมื่อมีค่าที่ต้องรวมมากกว่าค่าที่ไม่ต้องการ ในห้องทดลองเลือกชนิดเหตุการณ์แล้วแท่งที่เกี่ยวข้องจะถูกไฮไลต์พร้อมค่ารวม
X ~ B(5, 0.7) ได้ P(X ≥ 3) = 0.3087 + 0.3601 + 0.1681 = 0.8369 หรือคิดจาก 1 − (0.0024 + 0.0284 + 0.1323) = 0.8369 เท่ากัน
ค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน และฐานนิยม
การแจกแจงทวินามมีค่าเฉลี่ย E(X) = np ความแปรปรวน Var(X) = npq และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับรากที่สองของ npq ฐานนิยมคือค่า x ที่มี P(X = x) สูงสุด โดยปกติคือจำนวนเต็มส่วนของ (n + 1)p แต่ถ้า (n + 1)p เป็นจำนวนเต็ม จะมีฐานนิยมสองค่าคือ (n + 1)p − 1 และ (n + 1)p
X ~ B(10, 0.3) มีค่าเฉลี่ย 10 × 0.3 = 3 และความแปรปรวน 10 × 0.3 × 0.7 = 2.1 ส่วน X ~ B(9, 0.5) มี (9 + 1) × 0.5 = 5 เป็นจำนวนเต็ม จึงมีฐานนิยม 4 และ 5
ทดลองสุ่มและเทียบกับทฤษฎี
แท็บ "ทดลองสุ่ม" ให้ทดลองทีละชุดเพื่อดูลำดับสำเร็จและไม่สำเร็จ หรือสุ่มเป็นพันชุดเพื่อดูความถี่สัมพัทธ์ซ้อนบนแท่งทฤษฎี เมื่อทดลองมากขึ้น ค่าเฉลี่ยจากการสุ่มจะใกล้ np มากขึ้น และเมื่อ n มาก รูปกราฟจะใกล้เคียงเส้นโค้งปกติที่มีค่าเฉลี่ย np และความแปรปรวน npq
ตั้ง B(10, 0.3) แล้วสุ่ม 10,000 ชุด ค่าเฉลี่ยของ X ที่ได้จะอยู่ใกล้ 3 มาก
ฝึกโจทย์ ออกข้อสอบ และบันทึกภาพ
โหมดฝึกโจทย์สุ่มโจทย์ 3 ระดับให้หา P(X = x) ความน่าจะเป็นสะสม อย่างน้อย ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน ฐานนิยม หรือหา n และ p จากเงื่อนไข กรอกคำตอบแล้วตรวจได้ทันที โหมดออกแบบโจทย์ให้ครูตั้ง n และ p พิมพ์โจทย์ เลือกซ่อนหรือเฉลยช่องคำตอบ แล้วบันทึกภาพกราฟสะอาดไปวางในข้อสอบ ส่วนโหมดชุดข้อสอบสร้างข้อสอบ 3 ถึง 20 ข้อพร้อมเฉลย และสร้างซ้ำได้ด้วยเลขเมล็ดสุ่มเดิม
ตั้ง X ~ B(3, ) ได้ P(X = 2) = {C:3,2} × ()^3 = = 0.375
ห้องทดลองการแจกแจงทวินาม
X ~ B(n, p) · P(X = x) = C(n, x) pˣ qⁿ⁻ˣคลิกหรือลากบนแท่งเพื่อเลือก x · ลูกศรซ้ายขวาเปลี่ยนค่า
เช็กความเข้าใจ
บทเรียนอื่นในหมวดความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็นจากไพ่ ลูกแก้ว ลูกเต๋า และเหรียญ
เรียนความน่าจะเป็นจากสถานการณ์ใกล้ตัว 4 แบบ ได้แก่ ไพ่ 52 ใบ ลูกแก้วในโหล ลูกเต๋า และเหรียญ ในห้องทดลองเดียว เลือกหัวข้อที่อยากดูได้เอง แล้วเทียบความน่าจะเป็นเชิงทดลองกับเชิงทฤษฎี พร้อมตารางผลลัพธ์ทั้งหมด วิธีคูณเศษส่วนเมื่อหยิบแบบใส่คืนและไม่ใส่คืน และแบบทดสอบเรื่องไพ่
เริ่มเรียน
การแจกแจงความน่าจะเป็น: ตัวแปรสุ่ม ค่าคาดหมาย และความแปรปรวน
ทดลองหมุนวงล้อ โยนเหรียญ และทอดลูกเต๋า เพื่อเรียนรู้ตัวแปรสุ่ม X การแจกแจงความน่าจะเป็น P(X = x) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ค่าคาดหมาย E(X) และความแปรปรวน V(X) เทียบผลทดลองกับค่าทางทฤษฎี ฝึกโจทย์ และออกแบบแผ่นงานหรือชุดข้อสอบจากบอร์ดเดียวกัน
เริ่มเรียน